| 研究課題/領域番号 |
19K03490
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
伊藤 哲也 京都大学, 理学研究科, 教授 (00710790)
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| 研究分担者 |
大槻 知忠 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (50223871)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2020年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2019年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
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| キーワード | 正結び目 / 結び目不変量 / 接触幾何 / 三次元多様体 / 正組みひも / 組みひもサテライト / 結び目解消数 / 結び目 / 低次元トポロジー / 矯飾的手術 / 矯飾的交差 / 組みひも群 / オープンブック分解 / 量子トポロジー |
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| 研究開始時の研究の概要 |
量子トポロジー・接触トポロジーともに現在活発に研究され、進展が著しい3次元のトポロジーの研究分野であるが、それぞれの分野の課題や未解決問題や目標は大きく異なり、二つの研究分野間の交流は活発とは言えない。近年、二つの分野に相互関連や応用があることを示唆する結果が得られており、二つの分野に密接な関連があることが期待される。このような現状を踏まえて、接触幾何の情報を量子不変量あるいはそれに関連した不変量から得ること、また逆に量子不変量に関連する情報を接触幾何の手法や情報から得ることを研究し、二つのトポロジーの分野の統合を目指す。
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| 研究成果の概要 |
接触幾何と特に関係の深い結び目のPositivityと量子不変量などとの関連を見出すことができた。正組みひも絡み目のHOMFLY多項式が特別な性質を持つことや、結び目多項式が正結び目の持つものと同様な性質を持つ、正結び目の適切な一般化を与えることなど、従来知られていた正結び目の性質をより一般にかつ時により強い結果を証明することができた。また、研究の副産物として、結び目の交点と組みひも指数・種数の関係、矯飾的手術・交点予想への応用、デーン手術における基本群の振る舞いや性質など、結び目理論・低次元トポロジーの具体的な問題についての多くの応用を与えることができた。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
結び目理論において、正結び目と呼ばれる結びの交差が常に正（同じ方向で交差している）ものは古くから特別な性質を持つことが知られていた。近年では、これらの正結び目は接触幾何と呼ばれる幾何学的な構造と密接に関係することが認識され、正結び目は幾何的に興味深い対象であることがわかってきた。この研究では、この接触幾何の観点からの問題意識や手法を取り入れ、正結び目の研究を深め、正結び目の持つ新しい性質を見出すとともに、研究の副産物として結び目理論や低次元トポロジーの古典的な問題や有名な問題についての部分解答を与えるなどの応用を与えた。
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