| 研究課題/領域番号 |
19K03491
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
安井 弘一 大阪大学, 大学院情報科学研究科, 准教授 (70547009)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2021年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2020年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2019年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
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| キーワード | ４次元トポロジー / ４次元多様体 / 微分構造 / 種数関数 / コルク / 単純型予想 / Seiberg-Witten 不変量 / Bauer-Furuta 不変量 / トポロジー / 4次元多様体 / 安定化 / 随伴不等式 / 結び目 / ハンドル体 / Stein 多様体 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
多様体と呼ばれる空間の微分構造の分類は，位相幾何学における最も基本的な問題の１つである．しかし，４次元固有の様々な現象のため，他の次元と違い４次元の場合は分類には程遠いのが現状である．本研究の主な目的は，４次元多様体の性質を様々な観点から解明することで４次元多様体の分類問題に寄与し，さらに結び目理論への新しい応用を与えることである．具体的には，幾何学的単連結４次元多様体，４次元多様体の微分構造の(非)安定化，枠付き結び目で表示される４次元多様体，の３つのテーマを中心に研究を進める．
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| 研究成果の概要 |
４次元多様体と呼ばれる４次元の幾何学的対象について、その微分構造を研究した。特に、コホモロジー環に関するある条件の下で全ての連結有向閉４次元多様体が mod 2 単純型であることを示し、1990 年代に提出された単純型予想に対してその mod 2 版の部分的解決を与えた。また、同値な種数関数を持つ互いにエキゾチックな４次元多様体の組織的構成法を与え、種数関数の微分構造の不変量としての限界を示した。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
単純型予想はゲージ理論における懸案の問題であり、その mod 2 版の部分的解決は４次元多様体の Seiberg-Witten 不変量の性質解明において重要である。位相構造の適当な条件の下で、４次元位相多様体上の全ての微分構造に共通する新しい有用な性質を明らかにしたという点にも意義がある。種数関数は４次元トポロジーで 60 年以上にわたって研究されている基本的な研究対象であり、本研究でその不変量としての限界を明らかにしたことは重要である。
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