| 研究課題/領域番号 |
19K03494
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 東京都立大学 |
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研究代表者 |
高津 飛鳥 東京都立大学, 理学研究科, 准教授 (90623554)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2020年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2019年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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| キーワード | 凹性 / 熱流 / 情報幾何 / 最適輸送 / 固有値問題 / 曲率 / 最適輸送理論 / 凸性・凹性 / リッチ曲率 / 凸性 / 熱方程式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
H.J.BrascampとE.H.Liebが1976年に打ち出した不等式により、対数凹性はユークリッド空間の熱流に対する最適な凹性とみなされ、長年の間、熱流の大域解析の軸となっていた。しかし申請者は東京大学の石毛和弘氏とフィレンツェ大学のPaolo Salani氏との共著にて、ユークリッド空間の熱流が保つ凹性の中で最も強い凹性が対数凹性ではないことを証明し、さらに最強の凹性が何であるかを決定した。
申請者は確率測度のなす空間上の相異なる幾何であるWasserstein幾何と情報幾何の既存の理論を、この最強の凹性を用いて同時に一般化し、そして両幾何を融合して新概念を導出をすることを目指す。
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| 研究実績の概要 |
熱流に関する幾何解析、とくに形状保存則に関する解析を進めた。具体的には、石毛和弘氏（東京大学）とPaolo Salani 氏（フィレンツェ大学）との共同研究を進め、その結果、三編の共著論文が出版された。共著論文の一つである「Hierarchy of deformations in concavity」では、情報幾何の概念である変形対数関数族に関する考察を深め、凹性の観点から変形対数関数族に対する階層構造を与えた。この階層構造は、凸関数の分類である displacement convexity class に対応する。そして displacement convexity class は、最適輸送理論を用いて空間のリッチ曲率の下限および上限を調べる際に中心的役割を担う。そこで今後は、この階層構造を用いた曲率に関する幾何解析を展開することを目指す。また、両氏との他の共同研究として、ユークリッド空間の凸領域上のディリクレ熱流下で保たれる凹性に関する必要十分条件を導き出した。以上の共同研究の結果は、学会で講演発表をしている。今後は、この理論をリーマン多様体上の強凸領域上のディリクレ熱流に拡張し、リーマン多様体における Brascamp--Lieb 不等式と熱流下における凹性の保存則の関係を明らかにすることで、リッチ曲率の新たなる性質を導くことを目指す。
その他、有限集合上の最適輸送理論の緩和問題、および最適輸送理論が導くユークリッド空間上の確率測度空間上のsliced Wasserstein 距離関数と呼ばれる距離構造の解析を、他の共同研究者と進めている。これらについては現在、投稿準備中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
熱流に関する幾何解析、とくに形状保存則に関する解析は、研究実績の内容で述べたように順調であり、当初の予定通り進んでいる。
一方で、曲率に関する共同研究は滞っている面がある。
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| 今後の研究の推進方策 |
研究実績の内容で述べたように、ユークリッド空間における熱流に関する凹性保存則に関しては順調に進んでおり、保存速に関する必要十分条件を得た。今後は、この理論をリーマン多様体に拡張し、リッチ曲率の新たなる性質を導くことを目指す。
手法としては、変形対数関数族の階層構造を用いて、最適輸送理論と情報幾何を融合し、リーマン多様体、より一般には測度距離空間上の幾何解析を展開することを考えている。
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