境界付き多様体のMorse理論と, そのFloer理論への応用

• 研究課題/領域番号: 19K03495
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 審査区分: 小区分11020:幾何学関連
• 研究機関: 東京都立大学
• 研究代表者: 赤穂 まなぶ 東京都立大学, 理学研究科, 准教授 (30332935)
• 研究期間 (年度): 2019-04-01 – 2024-03-31
• 研究課題ステータス: 完了 (2023年度)
• 配分額: 2,860千円 (直接経費: 2,200千円、間接経費: 660千円); 2022年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円); 2021年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円); 2020年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円); 2019年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
• キーワード: 境界付き多様体 / Morse理論 / シンプレクティック多様体 / Floer理論 / Morseホモロジー / Lagrange部分多様体 / トーリック多様体 / Polygon空間

研究開始時の研究の概要

本研究の概要は, 境界付き多様体のMorse理論の構成と, そのFloer理論への応用である. 従来, 閉Riemann多様体においてMorse関数からMorse複体とその上の代数構造を構成する方法が知られていたが, 一方, 境界付き多様体については, その構成方法は未だ不明な点が多い. また, 境界付き多様体のMorse理論をトイモデルとして持つFloer理論として, 凹型のエンドを持つシンプレクティック多様体における Lagrange部分多様体のFloer理論について研究する.

研究成果の概要

従来のMorse理論では主に閉多様体を扱っていたが、本研究課題では、境界付き多様体におけるMorseホモロジー上のMorseホモトピーと呼ばれるA∞代数構造の構成を目指した。境界付き多様体のMorseホモロジーでは境界付近でのMorse関数の勾配ベクトル場の積分曲線の振る舞いが鍵となる。これまで本研究代表者により、境界付き多様体のMorseホモロジー上にカップ積とよばれる積構造が構成されたが、残念ながら、より高次の積構造に対しては、その際に現れる勾配treeの振る舞いが組み合わせ的に複雑すぎて、その明示的な構成にはまだ至っていない。

研究成果の学術的意義や社会的意義

Morse理論とは関数を用いて図形や空間の位相幾何学的な性質を調べる理論である。特に本研究課題では境界付き多様体におけるMorseホモロジーの代数構造に注目し研究を行なった。本研究の学術的意義は、境界付き多様体のMorseホモロジーを理解することにより、接触多様体を境界に持つシンプレクティック多様体におけるLagrange部分多様体のFloer理論や、接触多様体におけるLegendre部分多様体の接触ホモロジーへの理解の手助けになると考えられる点である。また、社会的意義としては、様々な場面に現れる関数の最大値最小値の問題や、変分問題への理解が深まる点であると期待している。

研究成果

• [学会・シンポジウム開催] East Asian Symplectic Conference 2023 (2023)
• [学会・シンポジウム開催] East Asian Symplectic Conference 2019 (2019)