研究課題/領域番号 |
19K03500
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研究種目 |
基盤研究(C)
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配分区分 | 基金 |
応募区分 | 一般 |
審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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研究機関 | 東京女子大学 |
研究代表者 |
新國 亮 東京女子大学, 現代教養学部, 教授 (00401878)
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研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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配分額 *注記 |
2,990千円 (直接経費: 2,300千円、間接経費: 690千円)
2021年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2020年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2019年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
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キーワード | 空間グラフ / 絡み目内在性 / 結び目内在性 / Legendrian 空間グラフ / 極小リンク集合 / Vassiliev 不変量 / Conway-Gordon の定理 / ハンドル体結び目 / エッジ・ホモトピー / ハンドル体結び目群 / 線形空間グラフ |
研究開始時の研究の概要 |
3次元球面に埋め込まれたグラフの幾何学的性質を低次元トポロジーの立場から調べる空間グラフ理論について,基礎及び応用研究を行なう.本研究では,空間グラフの大域的階層構造を具体的に計算可能な代数的不変量を用いて解明する.特に代数的トポロジーに根ざした不変量に着目する点,そして化学における分子トポロジーへの応用を想定する点が大きな特徴である.具体的には,① 空間グラフの補空間の基本群の間の全射準同型の存在性に基づく階層構造とねじれAlexander不変量の研究, ② 線形空間グラフの結び目内在性に基づく階層構造とホモロジー不変量の研究,の2つを柱に据え,空間グラフの大域的階層構造の深い理解を目指す.
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研究実績の概要 |
1.井上歩氏,木村直記氏,谷山公規氏との共同研究により,絡み目内在性・結び目内在性を持つグラフとして知られる Petersen グラフ,Heawood グラフについて,その平面へのはめ込みの像が含む平面閉曲線の交差数及び回転数に関する新たな内在性を見出した.また応用として,Petersen グラフと Heawood グラフは,標準的な接触構造を持つ3次元 Euclid 空間への極小 Legendrian 埋め込みと呼ばれる,グラフの内周を実現する全ての結び目がトリビアル・アンノットと呼ばれる Legendrian 結び目となっているような埋め込みを決して持たないことを示した.
2.nを6以上の整数とし,p,qを p+q=n なる3以上の整数とするとき,n頂点完全グラフの空間グラフにおいて,pサイクルとqサイクルが成す2成分絡み目の2乗絡み数の総和は,2つの3サイクルが成す絡み目の2乗絡み数の総和で明示的に表される(森下-新國).これは6頂点完全グラフのいわゆる Conway-Gordon の定理の精密化及び一般頂点数の完全グラフへの拡張で,トリッキーな帰納法による長い証明を要していたが,その証明をより初等的かつ直接的な方法で大幅に簡略化した.
3.空間グラフの内在的性質の最近の研究についてまとめた著書「空間グラフのトポロジー」をサイエンス社から出版した.上記2の結果はこの本に掲載されている.
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現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
この研究課題の目的の1つである,交点数6以下の種数2の既約なハンドル体結び目の前順序集合の構造の研究に進捗がなかった.
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今後の研究の推進方策 |
研究協力者との研究実施体制を整えて,種数2の既約なハンドル体結び目の前順序集合の構造の解析を本格的に再開し,完全決定を目指すことにしている.
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