研究課題/領域番号 |
19K03503
|
研究種目 |
基盤研究(C)
|
配分区分 | 基金 |
応募区分 | 一般 |
審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
|
研究機関 | 明治大学 |
研究代表者 |
野原 雄一 明治大学, 理工学部, 専任准教授 (60447125)
|
研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
|
研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
|
配分額 *注記 |
4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2020年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2019年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
|
キーワード | ミラー対称性 / 旗多様体 / 完全可積分系 / クラスター代数 |
研究開始時の研究の概要 |
(A型の)旗多様体のミラー多様体はクラスター多様体の構造を持つ. この構造は, 特殊線形群の既約表現(旗多様体上の層のコホモロジーとして得られる)の標準基底と深く関わる. この層のコホモロジーはSYZミラー対称性の描像では, 適当な完全可積分系のLagrange切断のFloerホモロジーと同型になると期待される. 2次元部分空間のなすGrassmann多様体の場合には, ミラーのクラスター多様体構造が, Grassmann多様体上の完全可積分系の幾何学から得られることが分かっている. 本研究ではこれを一般化し, 表現の標準基底をFloerホモロジーの立場から理解することを目標とする.
|
研究実績の概要 |
A型(特殊線型群)の旗多様体のミラー対称性について、特に、特殊線型群の表現論(旗多様体上の複素幾何)とミラー多様体のLagrange部分多様体に対するFloer理論(シンプレクティック幾何)との関係について研究している。Strominger-Yau-Zaslowによるミラー対称性の描像では、ミラー対は双対Lagrangeトーラスファイブレーションの構造を持ち、旗多様体上の正則直線束がミラー側のトーラスファイブレーションのLagrange切断に対応する。これより、正則直線束のコホモロジーがLagrange切断のFloerホモロジーと同型になるはずである。Borel-Wiel理論により、特殊線型群の既約表現はすべて直線束のコホモロジーとして実現できるため、ミラー側で対応するFloerホモロジーの表現論的性質を調べることは自然な問題である。本研究では、Lusztig、Berenstein-Zelevinsky らにより導入された表現の“標準基底”と、ミラー側のLagrange切断の交点たちが与えるFloerホモロジーの“標準的”な基底の関係について調べている。2022年度は、複素3次元の旗多様体の場合(すなわち、3次特殊線型群の場合)に直線束のコホモロジーの“標準基底”がミラー側のLagrange切断の交点と対応すること、さらに直線束の正則切断の積構造がミラー側のFloerホモロジーの積構造と対応することを、一部の技術的な問題を除いて確認した。これを厳密な証明にするためには、角付き多様体上でFloer理論を行う際に生じるいくつかの問題を解決する必要がある。これが2023年度の目標となる。
|
現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
旗多様体のミラー多様体上でLagrange切断のFloerホモロジーを定義するためには、角付き多様体上で正則円板の解析を行う必要があるが、ここで考えている旗多様体の場合には、Lagrangeトーラスファイブレーションの特異ファイバーが角付き多様体の境界にも現れることが問題となる。既存の結果にはこのような状況を扱ったものがないため、新たな工夫が必要となる。この技術的な問題の解決に時間がかかっているため、当初の予定より遅れている。
|
今後の研究の推進方策 |
当初の予定より時間はかかっているが、2022年度の研究で3次元旗多様体のミラー側に現れる角付き多様体の様子が具体的に分かってきたので、2023年度も引き続きLagrange切断に対するFloer理論の研究を進める。可能であれば、3次元旗多様体と状況がよく似ている4次元Grassmann多様体の場合の研究も行う。
|