| 研究課題/領域番号 |
19K03548
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12010:基礎解析学関連
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| 研究機関 | 津田塾大学 |
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研究代表者 |
三上 敏夫 津田塾大学, 学芸学部, 教授 (70229657)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2021年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2020年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2019年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 確率最適輸送問題 / シュレディンガーの問題 / シュレディンガーの汎函数方程式 / ラグランジアン定式化 / 非凸コスト関数 / Schroedingerの問題 / sticky particle system / Brun-Minkowskii不等式 / excursion coupling / Wasserstein距離 / 双対定理 / superposition principle / Knothe-Rosenblatt 過程 / ガウス場の最大値の分布 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究課題は、経済学や画像処理などの様々な分野に応用されている最適輸送問題や平均場ゲーム理論を確率最適輸送理論の枠組みで統一的に発展させ、それらの新たな応用を見出していくことである。研究のスタイルとして、数学的理論のみでなく応用分野からの数学的要請にも注目し、応用分野と同期しながら数学理論を発展させていきたい。そのためには国内外の専門家との最新の情報交換が不可欠である。
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| 研究実績の概要 |
本年度は、コスト関数がコントロールについて無限遠方で１次以上２次未満の増大度を持つ場合に、確率最適輸送問題の値関数が有限であるための必要十分条件及び、時間が０に近づいた時の確率最適輸送問題の漸近挙動を与えた。時間が無限大になる場合にはこの確率最適輸送問題は無限大に発散することと発散レートも与えた。シュレディンガーの問題に関しては、値関数が０になるマルコフ過程がエルゴード的な場合に、シュレディンガーの汎函数方程式の解が時間無限大で初期確率分布と終期確率分布の直積測度に弱収束することを示した。特に、初期確率分布と終期確率分布が２次のモーメントを持ち、終期確率分布の微分エントロピーが有限な場合に、解の初期確率分布と終期確率分布の直積測度に対する相対エントロピーが時間無限大で0に収束することを示した。また、値関数の時間無限大での極限が終期確率分布の定常確率分布に対する相対エントロピーに収束することを示した。
研究期間全体を通じて実施したその他の研究の成果については、(1) シュレディンガーの問題を初期確率分布を確率分布に持つ確率変数の汎関数と考えたときの連続性と半凹性、初期分布の関数としてオーダー２のWasserstein距離に関してのリプシッツ連続性を示した。(2) シュレディンガーの汎函数方程式の解について、その初期及び終期確率分布、積分核に関する強位相と弱位相での連続性を示した。(3)初期終期確率分布を固定した場合と各時間での確率分布を固定した場合の連続なセミマルチンゲールに対する確率最適輸送問題に対する双対定理を一般化した。(4)コスト関数が凸でない場合に、最適輸送問題のラグランジアン定式化を与えた。(5)凸でないコスト関数を持つ確率最適輸送問題の解のMarkov性を状態空間が1次元の場合に示した。
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