| 研究課題/領域番号 |
19K03563
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 広島大学 |
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研究代表者 |
水田 義弘 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 名誉教授 (00093815)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,640千円 (直接経費: 2,800千円、間接経費: 840千円)
2023年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2022年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2021年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2020年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2019年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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| キーワード | 関数空間 / 変動指数 / 2重層汎関数 / ポテンシュル論 / ポテンシャル論 / ソボレフの不等式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
身の回りに起きる複雑な現象を解明するためには, 偏微分方程式の研究が有効である．偏微分方程式の解の存在や正則性を論じるとき，ソボレフが導入した関数空間，いわゆるソボレフ空間，が重要な役割を果たしてきた．最近では身の回りに起こる現象がますます複雑となり，それに伴って，その現象を記述する偏微分方程式とそれを解明するための関数空間が多様化している．
本研究では，さまざまな関数空間の性質を解明することにより，偏微分方程式の研究を発展させることを目的とした研究を行う．この研究を遂行するために，国内の研究者ばかりでなく海外の研究者と積極的に研究交流を行う．
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| 研究実績の概要 |
身の回りに起きる複雑な現象を解明するためには, 偏微分方程式の研究が有効である．偏微分方程式の解の存在や正則性を論じるとき，ソボレフが導入した関数空間，いわゆるソボレフ空間，が重要な役割を果たしてきた．本研究では，さまざまな関数空間の性質を解明することにより，偏微分方程式の研究を発展させることを目的とした研究を行い，国内の研究者ばかりでなく海外の研究者と積極的に研究交流を行った．その成果の一部は[10. 発表論文]で公表された.さらに次の投稿中の論文でも公表される予定である：
1. Yoshihiro Mizuta and Tetsu Shimomura, Hardy-Sobolev type integrability for generalized Riesz potentials in weighted Morrey-Orlicz spaces,投稿中
2．Yoshihiro Mizuta and Tetsu Shimomura, Integrability for Riesz potentials in Herz-Morrey-Orlicz spaces 投稿中
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
理由
本研究では，さまざまな関数空間の性質を解明することにより，偏微分方程式の研究を発展させることを目的とした研究を行い，国内の研究者ばかりでなく海外の研究者と積極的に研究交流を行った．とくに，pーラプラス方程式 - div (|D|p-2 Du) = 0 は，変分法，幾何学的解析学，擬等角写像，非ニュートン流などの研究に深く関連している．これは，汎関数 INTEGRAL[ |Du|p] のオイラー・ラグランジュ方程式である．この研究の発展として，一般の偏微分方程式の解を求めるために，非自律系の汎関数 INTEGRAL[ F(x,|Du|)] の最小解の存在と正則性を調べる研究が盛んに行われている．
本研究では，2重層汎関数 F(x,t) = tp + a(x) tq に関する最近の研究を発展させることから始めて，さらに一般の場合に応用できる方法を開発することを目的とする.
この目的を遂行するために，これまで共同研究を行ってきた研究者と密接な研究交流を行うとともに，各種の研究集会に参加して新たな展開の可能性を探る．
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| 今後の研究の推進方策 |
身の回りに起きる複雑な現象を解明するためには, 偏微分方程式の研究が有効である．偏微分方程式の解の存在や正則性を論じるとき，ソボレフが導入した関数空間，いわゆるソボレフ空間，が重要な役割を果たしてきた．最近では身の回りに起こる現象がますます複雑となり，それに伴って，その現象を記述する偏微分方程式とそれを解明するための関数空間が多様化している．本研究では，ポテンシャル論的手法を用いて，Herz-Morrey-Musielak-Orlicz 空間において，極大作用素や積分作用素の有界性を示すことによって，偏微分方程式で記述される現象を解明するための手法を発見することを目的として，次の点を明らかにする．
１．2重層汎関数を含む多くの汎関数の最小解の存在に関する研究を行う．ここで開発された方法を発展させて，より一般の汎関数を扱うための新理論を構築する研究に繋げる．
２．Herz-Morrey-Musielak-Orlicz 空間において，極大作用素の有界性を示し，その応用として，ソボレフの不等式，Trudinger の指数不等式，ヘルダー連続性などのソボレフ型の定理を発展させる．
３．ルベーグの単調関数のポテンシャル論的性質を解明して，擬等角写像の幾何学的性質を解明するとともに，偏微分方程式の解の存在と正則性の研究を行う．
４．実解析学ばかりでなく， 微分幾何学，複素解析学，グラフ上の解析学など幅広い応用を目指して，距離空間上における関数空間の研究を展開する．特に，重み付き空間における理論を発展させる．
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