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シュレーディンガー方程式の数理解析

研究課題

研究課題/領域番号 19K03589
研究種目

基盤研究(C)

配分区分基金
応募区分一般
審査区分 小区分12020:数理解析学関連
研究機関学習院大学

研究代表者

谷島 賢二  学習院大学, 理学部, 研究員 (80011758)

研究期間 (年度) 2019-04-01 – 2025-03-31
研究課題ステータス 交付 (2023年度)
配分額 *注記
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2021年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2020年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2019年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
キーワードシュレーディンガー作用素 / シュレーディンガー方程式 / 散乱の波動作用素 / 点相互作用 / ルベーグ空間 / 断熱近似 / 断熱近似理論 / 時間周期量子力学 / 閾値特異性 / 閾値共鳴 / 閾値漸近解析 / レゾナンス / 接触相互作用
研究開始時の研究の概要

時間依存型シュレーディンガー方程式の初期値問題に関する諸問題ならびにシュレーディンガー作用素のスペクトル・散乱理論についての諸問題について研究する。前者についてはとくに、初期値問題が一意可解であるためのポテンシャルに対する最も一般的な条件を見い出し、伝播作用素の構造を解析する。後者についてはとくに、散乱の波動作用素のルベーグ空間における連続性に関する研究を完成させること、ならびに2フェルミオン粒子と1ボゾン粒子からなる3体シュレーディンガー作用素の粒子間ポテンシャルの適当なスケーリング極限によって接触相互作用を持つ3量子系のハミルトニアンも構成が可能か否かを研究する。

研究実績の概要

研究課題「量子物理学の数理解析」についてのいくつかの問題を研究して、以下の成果を得た。1)2次元ならびに4次元空間におけるシュレーディンガー作用素の散乱理論の波動作用素が連続となるルベーグ空間の指数を、シュレーディンガー作用素のスペクトルが閾値において特異性を持つ場合に、端点$p=1$ならびに$p=\infty$を除いて完全に決定し、波動作用素のルベーグ空間における連続性の問題を次元2,4の端点を除いて任意次元の空間において解決した。この結果は広く応用されている。シュレーディンガー作用素の任意の関数のルベーグ空間の間の連続性が自由シュレーディンガー作用素の関数の解析に帰着されるからである。また点相互作用をもつ2次元シュレーディンガー作用素に対する同様な問題をCornean, Michelangeli とともに解決し、点相互作用に対するこの問題もすべての空間次元において決着させた。2) 時間に依存した相互作用をする外部電磁場中の量子力学的多体粒子系の運動を記述するシュレーディンガー方程式が、粒子系の運動を一意的に決定するための十分条件を、物理学で現れる殆どの場合に適用できる一般的な形で与え、形式的に行われてきた多くの議論に数学的な基礎を与えた。3)点相互作用素をもつシュレーディンガー作用素の波動作用素が通常のシュレーディンガー作用素の波動作用素の極限であることを Galtbayar とともに証明した。4)一様電場中の量子を記述するシュレーディンガー作用素を有限階作用素で摂動した時に現れる複素レゾナンスの弱電場極限における集積点は極限作用素のレゾナンスとはならないことを Jensen とともに証明した。5)Galtbayar ならびに Jensen とともにスペクトルが点スペクトルから連続スペクトルへ変化する可解モデルにおいて量子力学的断熱近似が破綻することを証明した。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

1: 当初の計画以上に進展している

理由

1)シュレーディンガー作用素の散乱問題における波動作用素のルベーグ空間における連続性の問題が新しいアイデアを用いて思いがけず簡明に解決できたのが大きい。これは a) 波動作用素のあらたな表現式、すなわち基礎となる作用素(基本作用素と呼ぼう)の平行移動の適当な重み関数による重ね合わせとして表現する式がえられたこと, b) 基本作用素が良く知られた特異積分作用素の和として表現され、調和解析的手法によって端点を除くすべての指数をもつルベーグ空間において連続となることが示せたこと, さらに c) スペクトルの閾値におけるレゾルベント解析が Jensen-Nenciu の補題によってスムースに行えることが分かったことよる。2) 研究代表者が1998年に発表した時間に依存するポテンシャルをもつシュレーディンガー方程式に対するユニタリーな発展作用素の構成に用いたStrichrtz不等式を、部分系の振幅関数のなすヒルベルト空間に値を取る関数に自然に拡張することによって、外部電磁場中の時間に依存した相互作用をする多体粒子系に対するシュレーディンガー方程式のユニタリーな発展作用素がほぼ自動的に構成できたのがこの問題を早期に解決できた理由である。3) 点相互作用系の解析には2017年までの G. Delantonio, A. MichelangeliあるいはA. Tetaとの共同研究において集積された多くの研究情報が役だった。また共同研究者H. Cornean が統計力学の研究において用いたアイデアによる手助けが大きかった。
4, 5) のレゾナンスの不安定性の問題、断熱近似の破綻の問題の解決はA.Galtbayar や A. Jensen との共同研究の成果である。

今後の研究の推進方策

1)シュレーディンガー作用素の散乱問題における波動作用素が端点指数$p=1$あるいは$p=\infty$をもつ2,4次元のルベーグ空間において連続であるか否の問題が未解決のまま残ってしまった。これは研究業績の項でのべた結果が、調和解析的手法によって得られているためである。調和解析は端点指数のルベーグ空間における解析のためにはほぼ無力で、端点解析には波動作用素を積分作用素として表現する積分核の大きさを評価して実解析的な手法を用いるしかない。一方、端点での評価が得られれば、この結果の応用範囲は格段に広がる。新しい手法を開発してこの端点問題を解決したい。

2)研究業績の項でのべた、一意的に存在するシュレーディンガー方程式の発展作用素に普遍的に成立する様々な性質を研究したい。特に外部電磁場や粒子間相互作用が時間に周期的に変動する場合、それらがどのような条件を満たせば粒子系のエネルギーが時間無限大において有限にとどまるかを明らかにしたい。

3)互いに点相互作用する3個以上の粒子を記述するシュレーディンガー作用素を下に有界な自己共役作用素としての実現することは1960年代の Faddeev-Minlos の研究以来の難問であるが、最近 A. Teta を中心とするイタリアのグループによってこの問題の研究に進展があった。最新の研究情報を取得してこの問題の研究を進めたい。

報告書

(5件)
  • 2023 実施状況報告書
  • 2022 実施状況報告書
  • 2021 実施状況報告書
  • 2020 実施状況報告書
  • 2019 実施状況報告書
  • 研究成果

    (16件)

すべて 2023 2022 2021 2020 2019 2018

すべて 雑誌論文 (11件) (うち国際共著 5件、 査読あり 11件) 学会発表 (4件) (うち国際学会 2件、 招待講演 4件) 図書 (1件)

  • [雑誌論文] The $L^p$-boundedness of wave operators for two dimensional Schr\"odinger operators with threshold singularities2023

    • 著者名/発表者名
      Kenji Yajima
    • 雑誌名

      Journal of the Mathematical Society of Japan

      巻: -

    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] The 𝐿<sup>𝑝</sup>-boundedness of wave operators for two dimensional Schrödinger operators with threshold singularities2022

    • 著者名/発表者名
      YAJIMA Kenji
    • 雑誌名

      Journal of the Mathematical Society of Japan

      巻: 74 号: 4 ページ: 1169-1217

    • DOI

      10.2969/jmsj/85418541

    • ISSN
      0025-5645, 1881-1167, 1881-2333
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] he $L^p$-boundedness of wave operators for four dimensional Schr\"odinger operators with threshold resonances2022

    • 著者名/発表者名
      Kenji Yajima
    • 雑誌名

      The Journal of the European Mathematical Society

      巻: Special volume

    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] The L^p-boundedness of wave operators for two dimensional Schroedinger operators with threshold singularities2022

    • 著者名/発表者名
      Yajima Kenji
    • 雑誌名

      Journal of the Mathematical Society of Japan

      巻: -

    • 関連する報告書
      2020 実施状況報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] L^p-boundedness of wave operators for 2D Schroedinger operators with point interactions2021

    • 著者名/発表者名
      Yajima Kenji
    • 雑誌名

      Annales Henri Poincare

      巻: 電子版 号: 6 ページ: 2065-2101

    • DOI

      10.1007/s00023-021-01017-4

    • 関連する報告書
      2020 実施状況報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Unitary propagators for N-body Schroedinger equations in external field2020

    • 著者名/発表者名
      Yajima Kenji
    • 雑誌名

      Reviews in Mathematical Physics

      巻: 33 号: 01 ページ: 2060002-2060002

    • DOI

      10.1142/s0129055x20600028

    • 関連する報告書
      2020 実施状況報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] A solvable model of the breakdown of the adiabatic approximation2020

    • 著者名/発表者名
      Galtbayar A.、Jensen A.、Yajima K.
    • 雑誌名

      Journal of Mathematical Physics

      巻: 61 号: 9 ページ: 092105-092105

    • DOI

      10.1063/5.0001813

    • 関連する報告書
      2020 実施状況報告書
    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Erratum: Two-dimensional Schroedinger operators with point interactions: Threshold expansions, zero modes and L-p-boundedness of wave operators.2020

    • 著者名/発表者名
      Cornean, Horia D.; Michelangeli, Alessandro; Yajima, Kenji
    • 雑誌名

      Reviews in Mathematical Physics

      巻: 32 号: 04 ページ: 2092001-2092001

    • DOI

      10.1142/s0129055x20920014

    • 関連する報告書
      2020 実施状況報告書 2019 実施状況報告書
    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] On the approximation by regular potentials of Schroedinger operators with point interactions2020

    • 著者名/発表者名
      Galtbayar, Artbazar; Yajima,Kenji
    • 雑誌名

      Journal of the Korean Mathematical Society

      巻: 57 ページ: 429-450

    • 関連する報告書
      2019 実施状況報告書
    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Two-dimensional Schroedinger operators with point interactions: Threshold expansions, zero modes and Lp-boundedness of wave operators2019

    • 著者名/発表者名
      Cornean Horia D.、Michelangeli Alessandro、Yajima Kenji
    • 雑誌名

      Reviews in Mathematical Physics

      巻: 31 号: 04 ページ: 1950012-1950012

    • DOI

      10.1142/s0129055x19500120

    • 関連する報告書
      2019 実施状況報告書
    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Instability of Resonances Under Stark Perturbations2018

    • 著者名/発表者名
      Jensen Arne、Yajima Kenji
    • 雑誌名

      Annales Henri Poincare

      巻: 20 号: 2 ページ: 675-687

    • DOI

      10.1007/s00023-018-0746-7

    • 関連する報告書
      2019 実施状況報告書
    • 査読あり / 国際共著
  • [学会発表] The $L^p$-boundedness of wave operators for two dimensional Schr\"odinger operators with threshold singularities2021

    • 著者名/発表者名
      Kenji Yajima
    • 学会等名
      Conference for celebrating Arne Jensen's 70-th birthday
    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] 2次元Schroedinger作用素の 波動作用素のL^p-有界性2021

    • 著者名/発表者名
      Kenji Yajima
    • 学会等名
      研究集会「量子場の数理とその周辺」2021年3月10日
    • 関連する報告書
      2020 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Unitary propagator for $N$-particle Schroedinger equations in external filed2019

    • 著者名/発表者名
      Kenji Yajima
    • 学会等名
      QMath14. Mathematical Results in Quantum Physics -12-16 August
    • 関連する報告書
      2019 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] A model of breakdown of adiabatic approximation2019

    • 著者名/発表者名
      谷島 賢二
    • 学会等名
      第29回「数理物理と微分方程式」
    • 関連する報告書
      2019 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [図書] The physics and mathematics of Elliott Lieb; the 90th anniversary. Vol. II2022

    • 著者名/発表者名
      Frank, R.L., Laptev, A., Lewin M., Seiringer, R. editors
    • 総ページ数
      667
    • 出版者
      European Mathematical Society Publishing House GmbH
    • ISBN
      9783985470228
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書

URL: 

公開日: 2019-04-18   更新日: 2024-12-25  

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