| 研究課題/領域番号 |
19K03590
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
生駒 典久 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (50728342)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
3,770千円 (直接経費: 2,900千円、間接経費: 870千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2020年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2019年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | L^2正規化解 / 解の多重存在 / Born-Infeld方程式 / 有界な Palais-Smale 列 / 光線(light segment) / L^2正規化問題 / 正値解 / ポテンシャル / Joseph-Lundren指数 / 安定解 / 台が有界な非自明解 / 漸近挙動 / 光線の非存在 / 非自明解の存在 / 非存在 / 劣線形項 / 最小エネルギー解 / 非線形楕円型方程式 / 解の存在，非存在 / 解の性質 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究課題は非線形楕円型方程式と呼ばれる偏微分方程式に対し，特定の性質を持った解の存在(および非存在)を明らかにすることを目標としている．本課題で扱う方程式は，物理学など数学以外の分野において現れるものや幾何学と関連が深いものである．これらの方程式については自明な解と呼ばれる解以外(それらを非自明解と呼ぶ)については解を具体的に書き下すことはできず，非自明解の存在自体が知られていない．本課題では，非自明解の存在を証明することを目標にしているが，それと同時に見つけた非自明解がどのような性質を持っているかについても明らかにしたい．
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| 研究実績の概要 |
本年度は以下の研究テーマについて研究を行い，成果を得た．
(A) L^2 ノルム正規化解の存在問題: 本テーマでは，L^2 劣臨界ケース，L^2 臨界ケース，L^2 優臨界ケースという3つの場合を取り扱った．劣臨界ケースでは昨年度までに得られていた成果を拡張し，より広い非線形反応項およびポテンシャル項を取り扱うことに成功し，正値解の存在，解の多重存在性を証明することが出来た．また，臨界ケースと優臨界ケースではポテンシャル項がない状況を考え，球対称解の存在問題を扱い，正値球対称解の存在を示すことができた．
(B) 非線形反応項を伴う Born-Infeld 方程式: 本テーマでは，まず Sobolev 臨界反応項を伴う方程式を考察し，この方程式に対して非自明解が存在しないことを示すことができた．次に Sobolev 臨界反応項以外の非線形反応項を考察し，非自明解の存在問題を取り扱った．今年度の研究では，先行研究で扱われていた非線形反応項よりも一般の反応項に対し非自明解の存在と解の多重存在性を示すことに成功した．
(C) パラメータに単調依存する汎関数に対する Palais-Smale 列の挙動: 本テーマではパラメータに単調依存する汎関数の族の峠の値に対し，有界な Palais-Smale 列が存在するかどうかを考察した．本年度は，峠の値に対して有界な Palais-Smale 列が全く存在しないようなパラメーターの値が可算無限個かつ有界な範囲内に留まる例を構成することに成功した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
まず L^2 正規解の存在問題は現在活発に研究されているトピックであり，本年度までに多くの結果が得られていること，また新しく取り組むべき課題も得られているため順調に研究が進んでいると言える．Born-Infeld 方程式については扱っている課題が困難であったため初めの成果が出るまで時間がかかったが，その間の研究を通じ問題の基本的な性質の理解を深めることができた．新しい研究課題に取り組む際，このような基本的な性質の理解は有用であるため更なる研究の発展が見込める．最後にパラメーターを伴う汎関数に対する有界な Palais-Smale 列の存在・非存在問題は本年度発見し取り組み始めた研究課題である．まだまだまとまった研究成果はでていないが，目標となる研究成果を明確にすることができた．これらのことを考慮すると研究は順調に進展していると言える．
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は今年度研究を行った3つのテーマ(L^2 正規化解の存在問題，非線形反応項を伴う Born-Infeld 方程式，パラメーターを持つ汎関数に対する有界な Palais-Smale 列の存在問題)を中心に扱う予定である．これら3つのテーマに対しては既に今年度ある程度の研究を行っているので，取り組むべき課題が明確になっているものが多い．そこでまずはこの明確になっている部分に対する研究を集中的に行い，まとまった研究成果を得たい．これらのことが遂行できた後は，そこまで明確にはなっていないが明らかにしたい性質等があるのでそちらの課題に取り組みたいと考えている．
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