| 研究課題/領域番号 |
19K03604
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12030:数学基礎関連
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| 研究機関 | 芝浦工業大学 |
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研究代表者 |
池上 大祐 芝浦工業大学, 工学部, 准教授 (20747208)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
中途終了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2020年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2019年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 数理論理学 / 集合論 / 巨大基数公理 / 無限ゲームの決定性 / 記述集合論 / 決定性公理 / 実数の集合の正則性 / 選択公理を仮定しない強制法理論 / Chang+ モデル |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究では、自然数を一般化した無限の数（無限基数）と、チェス・囲碁・将棋といった２人でプレーするボードゲームを一般化した無限ゲームの関係について考察する。無限基数の中でも特別な性質を持つ巨大基数の存在と、無限ゲームにおいて先手か後手のどちらかに必勝法がある、という言明に密接なかかわりがあることが、1960年代から今までの研究でわかってきた。本研究では、Chang+ モデルという数学的対象を通してこの関係をより深く掘り下げる。
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| 研究実績の概要 |
本研究では、自然数を一般化した無限の数・無限基数と、チェス・囲碁・将棋といった二人でプレーするボードゲームを一般化した無限ゲームの関係について考察する。本研究はNam Trang助教との共同研究である。
2023年度は、９月に海外の大学へ移籍したこともあり、本研究課題について特筆すべき研究成果は得られなかった。
研究期間全体を通じて実施した主な研究の成果としては、以下を証明した：
i) ω_1 が超コンパクト基数であるとき、a) 従属選択公理が成り立つ、b) Chang モデルに属する実数の集合はすべてルベーグ可測になる、c) ススリンな実数の集合はすべて弱一様ススリンになる、d) 任意の集合Xに対してX# が存在すること、e)「集合論のモデル L(R) において決定性公理が成り立つ」という命題が V のどの強制拡大でも成り立つ、ii) 決定性公理を強めた実数決定性公理を仮定したとき、実数直線上のσ-イデアルIで強制法P_IがプロパーとなるどんなIに対しても、実数の集合はすべてI-regularとなる、iii) ZF+ADを仮定すると、実数直線上のどんな非自明な順序集合による強制拡大もADのモデルにならない、iv) ZF+AD^+ +V=L(P(R))を仮定し、順序数Θが正則基数であるとする。このとき、Θ上の順序集合で、新しいΘの部分集合を付加し、ADを保存するものが存在する、v) c.c.c.という順序集合の基本的な性質を一般化するuniformly narrowという概念を導入し、選択公理を仮定しないZFの下で、uniformly narrowなどんな順序集合も基数を保存し、uniformly
narrowな順序集合たちの有限台反復強制法が再びuniformly narrowとなる。
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