| 研究課題/領域番号 |
19K03618
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12040:応用数学および統計数学関連
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| 研究機関 | 富山大学 |
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研究代表者 |
池田 榮雄 富山大学, 理学部, 客員教授 (60115128)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2020年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2019年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | 中心多様体縮約 / Bogdanov-Takens型分岐 / フロントダイナミクス / ３成分反応拡散系 / 特異摂動法 / ３成分競争拡散系 / 進行フロント解 / 進行パルス解 / 3成分反応拡散系 / 3成分競争拡散系 / ３次のJordanブロック型退化 / 反応拡散系 / パルスダイナミクス / 余次元２の分岐理論 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
空間１次元 FitzHugh-Nagumo型１活性－２抑制因子モデルにおけるフロントあるいはパルスダイナミクスを有限次元の系に縮約するとき，より簡便な常微分方程式の係数決定を提案し，それを解析することによって元の反応拡散系の様々なダイナミクスの全体像を明らかにすることが第１の目的である。さらにその結果を用いて，空間的非一様性の強さと進行フロント波や進行パルス波との相互作用のダイナミクス(非一様性のために出現した安定，不安定な定常解や周期解などの力学的構造)を明らかにすることが第２の目的である。これらの結果をさらに，３種競争拡散系に拡張することが第３の目的である。
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| 研究実績の概要 |
(1) 有害藻類開花モデルである三種(２餌食-１捕食者)拡散系に対してこれまでの特異摂動法の手法を拡張して，空間非一様解の存在，安定性を明らかにした。この結果はオープンアクセスとしてDCDS-Bに掲載された。(2) 三種反応拡散系の進行波解の分岐現象について，３重の０固有値を持つ退化の場合に，バタフライ構造を内在した縮約方程式の導出を行った。簡便な方法でその縮約方程式の係数を計算しているが，まだ完全な解決には至っていない。(3) 空間２次元の三種反応拡散系の進行スポット解のダイナミックスに対する縮約ODEsも引き続き計算中であるが，この場合は簡便な方法が利用出来きず，地道に様々な固有関数を計算しなければならない。計算はかなり複雑になりまだゴールには至っていないが，少しづつ進歩している。(4) 保存量を持つ系への特異摂動法の適用には困難さが伴うが，ある簡単なケースに関して単一モードを持つ解の存在と安定性を証明することが出来た。この結果を用いて，多モードを持つ解の安定性や空間２次元問題への拡張についても考察を行った。(5) 非局所項を持つ自己駆動体運動の反応拡散系モデルに関しても空間一次元の場合に，定常パルス解や進行パルス解の存在証明に成功した。現在その安定性を考察中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
前年度からの継続であるが，次の２点に関して遅れている。(1) 退化度の高いBogdanov-Takens型分岐点近傍での縮約方程式の導出及び，係数決定を行うことである。その為には，更なるフロント解の持っている性質が必要となる。すなわち，進行フロント解の加速度の情報を導き出すための特異摂動法による解の展開が必要になる。そこで，新たな手法として時間変数も考慮した接合漸近展開を構築することを考えたが，空間変数の接合と時間変数の接合の両方を考慮しなければならず，計算量が膨大になり，現在は全体の枠組みを整理しているところである。これは全く新しい取り組みであり，新しい理論が構築できる可能性がある。(2) パルス解の安定性解析において，線形化固有値問題を解く過程において導かれた最大固有値を決定する関係式は固有値の連立非線形方程式となり，パルス解の存在条件としての関係式との関係や固有値自身の分布に関してはまだ未解決である。
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| 今後の研究の推進方策 |
１つ目の項目に関しては時間変数と空間変数の両方に対して接合漸近展開を適用する必要がある。これは全く新しい取り組みであり，新しい理論が構築できる可能性がある。これまで行った漸近展開による計算結果をもう一度整理し，時間と空間変数に対する接合条件を導出したい。形式的な計算は出来るが，問題はそれを正当化することである。２つ目のパルス解の安定性解析に関しては，対称モードと非対称モードの２つの摂動に関する不安定化から導かれる固有値があり，それぞれにおいて，最大固有値を決定する関係式は連立の非線形方程式となる。フロントの場合は単独の非線形方程式で決まり，かなり単純であった。分岐問題に関しては，どちらのモードの不安定化が先に出現するかが重要であり，今後数値計算も併用して前進させたいと考えている。さらに今年度は，非局所項を含む問題に対しても新しい特異摂動法の枠組みを作り，解の分岐構造及び縮約系の導出にチャレンジしたい。
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