| 研究課題/領域番号 |
19K03624
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12040:応用数学および統計数学関連
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| 研究機関 | 芝浦工業大学 |
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研究代表者 |
福田 亜希子 芝浦工業大学, システム理工学部, 准教授 (70609297)
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| 研究分担者 |
渡邉 扇之介 福知山公立大学, 情報学部, 准教授 (80735316)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2020年度)
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| 配分額 *注記 |
4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2020年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2019年度: 1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
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| キーワード | max-plus代数 / min-plus代数 / 超離散ハングリー戸田方程式 / 超離散ハングリーロトカ・ボルテラ系 / 固有値 / 保存量 / 最短経路問題 / ダイクストラ法 / トロピカル代数 / ネットワーク / 離散ハングリー戸田方程式 / 量子ウォーク / max-plusウォーク / 超離散化 / 可積分系 / アルゴリズム |
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| 研究開始時の研究の概要 |
可積分系に基づく数値計算アルゴリズムは，可積分系が持つ良い性質に起因して，高速・高精度な優れたアルゴリズムである。Max-plus代数とは，実数に－∞を加えた集合に和と積をそれぞれmax演算と+で定義した代数である。Max-plus代数上の固有値問題や線形方程式などの求解は制御理論・最適化問題など様々な応用が知られている。本研究では，アルゴリズムの一連の手順に対して超離散化を施すことで，max-plus代数上の新たな可積分アルゴリズムの構築を目指す。
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| 研究実績の概要 |
超離散戸田方程式の時間発展におけるソリトンの挙動はある条件の下でバブルソートと一致することが知られている。本研究では，I型超離散ハングリー戸田方程式を運動方程式とする番号付き箱玉系に着目し，複数種の玉で構成されるソリトンがソーティングされるための初期条件に対する十分条件を得た。さらにI型超離散ハングリー戸田方程式の時間発展は多重のバブルソートを同時に行っていると解釈でき，ソーティングを高速化するための発展方程式も得られている。これにより，I型超離散ハングリー戸田方程式を用いた固有値計算の高速化が可能となる。
また，I型超離散ハングリーロトカ・ボルテラ系に基づくmin-plus代数上の固有値計算アルゴリズムについても部分的な成果が得られている。I型超離散ハングリーロトカ・ボルテラ系が持つ複数のパラメータを特定の値に制限した場合の漸近挙動を明らかにし，保存量の存在を示すことに成功した。これらの性質を利用すると，超離散ハングリーロトカ・ボルテラ系を利用してmin-plus代数上の帯行列の固有値を求めるアルゴリズムが定式化できる。
一方，グラフ上の最短経路問題の解は対象とするグラフに対応する隣接行列を係数行列とするmin-plus代数上の線形方程式の解と一致することが知られている。通常の代数系における線形方程式を解くヤコビ法とガウス・ザイデル法はそれぞれmin-plus代数における類似物が存在し，ベルマンフォード法とワーシャルフロイド法にそれぞれ対応する。本研究では，ダイクストラ法に着目し，古典的な線形計算アルゴリズムの超離散化と対応することを部分的に明らかにしている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当初の計画通り，I型超離散ハングリー戸田方程式とソーティングアルゴリズムとの対応を明らかにし，研究成果を発表することができている。
また，I型超離散ハングリーロトカ・ボルテラ系とmin-plus代数上の固有値計算アルゴリズムの関係および最短経路問題とmin-plus代数上の線形計算アルゴリズムとの対応についても理解が進んだため，おおむね順調と判断した。
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| 今後の研究の推進方策 |
I型超離散ハングリーロトカ・ボルテラ系とmin-plus代数上の固有値計算アルゴリズムの関係について，パラメータが任意の値の場合について検討する。また，最短経路問題とmin-plus代数上の線形計算アルゴリズムとの対応に関して得られている研究成果を論文にまとめ公開する。また，II型超離散ハングリー戸田方程式および超離散二次元戸田方程式，II型超離散ハングリーロトカ・ボルテラ系に対応するアルゴリズム，およびそれらの方程式の間のベックルント変換について検討する。
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