| 研究課題/領域番号 |
19K03635
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12040:応用数学および統計数学関連
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| 研究機関 | 中部大学 (2021-2022)
統計数理研究所 (2019-2020) |
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研究代表者 |
後藤 振一郎 中部大学, AI数理データサイエンスセンター, 准教授 (60749282)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)
2021年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2020年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2019年度: 1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
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| キーワード | 幾何学的力学系理論 / ニューラルネット / 微分幾何学 / 力学系理論 / 統計力学 / 最適化問題 / 接触幾何学 / シンプレクティック幾何学 / ニューラルネットワーク / マスター方程式 / 凸最適化理論 / 情報幾何学 / 離散幾何学 / ヘッセ幾何学 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
人間の脳内の神経回路モデルはもとより、近年実社会でも特に需要が高まっている機械学習分野でも用いられているニューラルネットワークの単純化したモデル群を本研究で主に扱う。機械学習の中でも特に、ある種のニューラルネットワークモデルがなぜ効率的に学習できるかを解明するための一助となる理論を微分幾何学を用いて構築する。具体的には、ニューラルネットワークモデルでの活性化関数と呼ばれる非線形関数が凸関数と結びつく場合に対し、ヘッセ幾何学、情報幾何学や接触幾何学と呼ばれる微分幾何学を用いたモデル群の記述と、曲率やラプラシアン等の幾何学量が如何に学習理論や力学系と結びつくかを検討する。
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| 研究成果の概要 |
ニューラルネットワーク周辺領域で用いられる（熱）力学系を幾何学を積極的に用いた記述とその応用に関する研究をおこなった。当初は、よりニューラルネットワークに則した力学系に注力する予定であったが、より数理として基本的なイジング模型周辺の力学系を主に扱った。また熱力学モデルも予定を変更して取り扱った。本研究により種々の（熱）力学系の接触幾何学、情報幾何学、離散幾何学、アファイン幾何学的記述法を示した。さらにその記述法の特徴や応用も示した。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
力学系理論や熱統計力学は理工学の様々な分野で応用され、汎用性の高い方法論を提供してきた。特にニューラルネットワークなどの脳を模したモデルの解析は、人工知能分野の近年の発展にも寄与した。更なる関連基礎数理の発達が期待されている。また一方、シンプレクティック幾何学などの幾何学分野は、力学系理論の発展と共に発展してきた。本研究では力学系理論や熱統計力学と、これまであまり結びつきが強くなかった接触幾何学、情報幾何学、離散幾何学、アファイン幾何学を結びつけ、ニューラルネットワークより更に基本となるモデル群に対して（熱）力学系の緩和時間の幾何学的記述やその限界を具体的に示した。
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