| 研究課題/領域番号 |
19K03667
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分13010:数理物理および物性基礎関連
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| 研究機関 | 信州大学 |
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研究代表者 |
小竹 悟 信州大学, 学術研究院理学系, 教授 (40252051)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2022年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2021年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2020年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2019年度: 1,950千円 (直接経費: 1,500千円、間接経費: 450千円)
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| キーワード | 例外・多添字直交多項式 / 解ける量子力学模型 / 離散量子力学 / 再帰関係式 / ダルブー変換 / ロンスキアン・カソラティアン / 自由振動子表示 / マルコフ連鎖 / 数理物理 / 例外直交多項式・多添字直交多項式 / アスキースキームの直交多項式 / 離散直交性 / 形状不変性 / 閉関係式 / 新しいタイプの直交多項式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
直交多項式は数学・物理学に留まらず工学などの様々な分野に現れてくる重要なものであるが，10年程前に新しいタイプの直交多項式が発見され，精力的に研究が進められている。この様な直交多項式を，数学者とは違った視点で，量子力学模型を用いて調べている点が本研究の特徴である。新しいタイプの直交多項式の性質の解明や解ける量子力学模型の拡張を更に推し進め，これらの新しい知見を得る事を目的としている。今回は特に再帰関係式の性質の解明と多自由度への拡張を目指している。
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| 研究成果の概要 |
次数に欠落があるにも拘らず完全系を成す新しいタイプの直交多項式である多添字直交多項式を量子力学模型の可積分変形を用いて構成して来たが，残されていた連続ハーン多項式に対してケース-(1)の多添字直交多項式を構成した。そして通常の直交多項式の特徴付けである3項関係式に代わる再帰関係式を得て，生成消滅演算子を構成した。量子力学模型の可積分変形を与えるダルブー変換にはロンスキアンやカソラティアンが現れるが，カソラティアンの一般的な恒等式を示した。これらの研究で得た直交多項式の知見を活かして，直交多項式の重み関数の畳み込みを用いた解けるマルコフ連鎖の構成も行った。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
直交多項式の理論は数学の一分野であるが，水素原子の量子力学に見られる様に物理学において重要な役割を果たしているだけでなく，工学などの様々な分野にも現れている。次数に欠落があるにも拘らず完全系を成す新しいタイプの直交多項式である多添字直交多項式が近年勢力的に調べられている。本研究では量子力学模型の可積分変形を利用して多添字直交多項式を構成し，その性質として再起関係式を見出し，生成消滅演算子を構成した。また，直交多項式を利用して解けるマルコフ連鎖の構成も行った。これらは直交多項式及びその周辺の話題に新しい知見をもたらした。
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