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大規模線形方程式の数値解法(GPIDR(s)法)の開発

研究課題

研究課題/領域番号 19K12002
研究種目

基盤研究(C)

配分区分基金
応募区分一般
審査区分 小区分60100:計算科学関連
研究機関名古屋大学

研究代表者

張 紹良  名古屋大学, 工学研究科, 教授 (20252273)

研究期間 (年度) 2019-04-01 – 2025-03-31
研究課題ステータス 交付 (2023年度)
配分額 *注記
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2021年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2020年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2019年度: 2,340千円 (直接経費: 1,800千円、間接経費: 540千円)
キーワード大規模線形方程式 / 反復法 / Krylov部分空間 / Sonneveld部分空間 / 線形方程式 / 数値解法 / 大規模 / 計算科学
研究開始時の研究の概要

計算科学・データ科学に現れる超大規模線形方程式Ax=bに対して次世代数値計算アルゴリズムを開発する。研究手法として、申請者が開発したGPBi-CG法の理論(一般化積型クリロフ部分空間法)、および同じく申請者の研究グループが開発したBlock IDR(s)法の理論を融合した解法である「一般化積型IDR法:GPIDR(s)法)」(一般化ゾンネベルト部分空間法)を開発することで、2020年以降の超大規模線形方程式への対応を可能とさせる。

研究実績の概要

計算科学・データ科学に現れる超大規模線形方程式 Ax =b に対する次世代数値計算アルゴリズムを開発する.研究手法として,申請者が開発したGPBi-CG法[1]の理論(一般化積型クリロフ部分空間法),および同じく申請者らが開発したBlock IDR(s)法[2]の理論(ゾンネベルト部分空間法)を融合した解法である「一般化積型IDR法:GPIDR(s)法」(一般化ゾンネベルト部分空間法)を開発することで, 2020年以降の超大規模線形方程式への対応を可能とさせる.
[1] S.-L.Zhang:SIAMJ.Sci. Comput., 18(1997), pp.537-551, [2] L. Du, S.-L.Zhang et al., J. Comput. Appl. Math., 235(2011), pp.4095-4106.
本研究における学術的問いは 「線形方程式に対する従来法の性能を超える数値解法は開発できるか?」 であり,具体的な問いは以下の3点である.
1. IDR(s)法 の理論(ゾンネベルト部分空間)とGPBi-CG法の理論(一般化積型クリロフ 部分空間)の統一理論を構築できるか?
2. 統一理論からIDR(s)法の高速性とGPBi-CG法の 頑強性を備えたアルゴリズム (GPIDR(s)法:一般化積型ゾンネベルト部分空間法)を構成できるか?
3. 近年の科学技術計算で要求される大規模線形方程式での GPIDR(s)法の有用性を検証できるか?

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

超大規模線形方程式の数値解法の開発と実問題への応用を目的とする.国産の数値解法であるGPBi-CG法の理論的根幹である積型クリロフ部分空間理論と,最先端の数理アルゴリズムであるBlock IDR(s)法の理論的根幹であるIDR定理(帰納的次元縮小定理)を統一する着眼点が独創的であり,統一された理論から従来法を凌ぐ高速・高精度・高安定解法を開発することが創造的である.
具体的には,IDR定理は行列1次多項式の積で構成されるという着眼点により,その多項式を積型クリロフ部分空間理論で用いられるLanczos多項式(数値計算の丸め誤差に対して頑強)を用いることにより「一般化積型IDR定理」を構築する.
このことによりLanczos多項式内の係数の選び方により,従来のIDR定理が得られるという意味で一般化されている.さらにこの一般化積型IDR定理(高い視点)により,次世代の数値解法になり得る一般化積型IDR法 (GPIDR(s)法)を開発する.

まず,2020年度から一般化積型IDR定理の構築を改善し,有限回の反復で線形部分空間の次元がゼロになることを証明する.これは導出される解法に対する収束性(有限回反復で解に収束するため)の理論保証となる.
次に一般化積型IDR定理に基づく解法を導出するが,生成される解法には多様性があるため,数値的に丸め誤差の影響を最も受けにくい解法を数値実験結果(フィードバック)に基づき明らかにする.さらに,行列関数の計算や行列方程式の求解への応用を検討する.

今後の研究の推進方策

今後の研究計画の実現については,IDR定理の拡張(一般化積型IDR定理)が研究の根幹であり,論文[3]にあるように十分把握している.さらに一般化積型IDR定理を構築するために必要なLanczos多項式についてはGPBi-CG法[2]の研究から明らかであるため,一般化積型 IDR定理の実現性は高いと考えている.
さらに,一般化積型IDR定理から導出される,(GPBi-CG法とIDR(s)法の融合として位置づけられる)GPIDR(s)法の導出に当たっては,積型クリロフ部分空間法の枠組みの中でGPBi-CG法を導出した経験[1],そしてIDR定理からBlock IDR(s)法を導出した経験[3]により研究期間があれば問題なく実施できると考えている.
なお,近年ではシフト線形方程式という計算物理学や最適化問題に現れる専用の解法をIDR定理に基づき開発しており[3],解法開発の職人的研究センスは向上している状況である.
[1] S.-L. Zhang: SIAM J. Sci. Comput., 18(1997), pp.537-551.【査読有】, [2] L. Du, S.-L. Zhang et al., J. Comput. Appl. Math.,235(2011),pp.4095-4106. 【査読有】, [3] L. Du, S.-L. Zhang et al., J. Comput. Appl. Math., 274(2015), pp.35-43. 【査読有】 ※L.Du 氏(現:大連理工大学・副教授)は,申請者(張:Zhang)の博士課程指導学生であった.

報告書

(5件)
  • 2023 実施状況報告書
  • 2022 実施状況報告書
  • 2021 実施状況報告書
  • 2020 実施状況報告書
  • 2019 実施状況報告書
  • 研究成果

    (39件)

すべて 2023 2022 2021 2020 2019

すべて 雑誌論文 (8件) (うち査読あり 7件、 オープンアクセス 1件) 学会発表 (31件) (うち国際学会 3件)

  • [雑誌論文] Computing the matrix fractional power with the double exponential formula2021

    • 著者名/発表者名
      Tatsuoka Fuminori、Sogabe Tomohiro、Miyatake Yuto、Kemmochi Tomoya、Zhang Shao-Liang
    • 雑誌名

      ETNA - Electronic Transactions on Numerical Analysis

      巻: 54 ページ: 558-580

    • DOI

      10.1553/etna_vol54s558

    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] On a transformation of the ?-congruence Sylvester equation for the least squares optimization2020

    • 著者名/発表者名
      Satake Yuki、Sogabe Tomohiro、Kemmochi Tomoya、Zhang Shao-Liang
    • 雑誌名

      Optimization Methods and Software

      巻: - 号: 5 ページ: 1-8

    • DOI

      10.1080/10556788.2020.1734004

    • 関連する報告書
      2020 実施状況報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Algorithms for the computation of the matrix logarithm based on the double exponential formula2020

    • 著者名/発表者名
      Tatsuoka Fuminori、Sogabe Tomohiro、Miyatake Yuto、Zhang Shao-Liang
    • 雑誌名

      Journal of Computational and Applied Mathematics

      巻: 373 ページ: 112396-112396

    • DOI

      10.1016/j.cam.2019.112396

    • 関連する報告書
      2020 実施状況報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Adaptive SOR methods based on the Wolfe conditions2019

    • 著者名/発表者名
      Y. Miyatake, T. Sogabe, S.-L. Zhang
    • 雑誌名

      Numerical Algorithms

      巻: 84 号: 1 ページ: 117-132

    • DOI

      10.1007/s11075-019-00748-0

    • 関連する報告書
      2019 実施状況報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Modified Strang splitting for semilinear parabolic problems2019

    • 著者名/発表者名
      K. Nakano, T. Kemmochi, Y. Miyatake, T. Sogabe, S.-L. Zhang
    • 雑誌名

      JSIAM Letters

      巻: 11 号: 0 ページ: 77-80

    • DOI

      10.14495/jsiaml.11.77

    • NAID

      130007771371

    • ISSN
      1883-0609, 1883-0617
    • 関連する報告書
      2019 実施状況報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] A structure-preserving Fourier pseudo-spectral linearly implicit scheme for the space-fractional nonlinear Schr?dinger equation2019

    • 著者名/発表者名
      Y. Miyatake, T. Nakagawa, T. Sogabe, S.-L. Zhang
    • 雑誌名

      Journal of Computational Dynamics

      巻: 6 号: 2 ページ: 361-383

    • DOI

      10.3934/jcd.2019018

    • 関連する報告書
      2019 実施状況報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Relation between the T-congruence Sylvester equation and the generalized Sylvester equation2019

    • 著者名/発表者名
      Y. Satake, M. Oozawa, T. Sogabe, Y. Miyatake, T. Kemmochi, S.-L. Zhang
    • 雑誌名

      Applied Mathematics Letters

      巻: 96 ページ: 7-13

    • DOI

      10.1016/j.aml.2019.04.007

    • 関連する報告書
      2019 実施状況報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] A Breakdown-Free Block COCG Method for Complex Symmetric Linear Systems with Multiple Right-Hand Sides2019

    • 著者名/発表者名
      H.-X.Zhong, X.-M. Gu, S.-L. Zhang
    • 雑誌名

      Symmetry

      巻: 11 号: 10 ページ: 1302-1302

    • DOI

      10.3390/sym11101302

    • 関連する報告書
      2019 実施状況報告書
  • [学会発表] 定数係数2階線形偏微分方程式に対する量子変分アルゴリズムについて2023

    • 著者名/発表者名
      菅谷 遼, 曽我部 知広, 剱持 智哉, 張 紹良
    • 学会等名
      第9回 量子ソフトウェア研究発表会
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [学会発表] Randomized reflection iteration methods for solving linear equations2023

    • 著者名/発表者名
      Nan Li, Jun-Feng Yin, Ning Zheng, Tomohiro Sogabe, Tomoya Kemmochi, Shao-Liang Zhang
    • 学会等名
      第49回 数値解析シンポジウム
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [学会発表] Tensor product-type Krylov subspace methods for solving Sylvester tensor equations2023

    • 著者名/発表者名
      Jing Niu, Tomohiro Sogabe, Lei Du, Tomoya Kemmochi, Shao-Liang Zhang
    • 学会等名
      第49回 数値解析シンポジウム
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [学会発表] 三角形分割の形状に対してロバストな不連続Galerkin法の誤差解析2023

    • 著者名/発表者名
      髙橋春登, 剱持智哉, 曽我部知広, 張紹良
    • 学会等名
      第49回 数値解析シンポジウム
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [学会発表] Iterative projection methods for solving cone-constrained eigenvalue complementarity problems2023

    • 著者名/発表者名
      Nan Li , Tomohiro Sogabe, Jun-Feng Yin, Tomoya Kemmochi, Shao-Liang Zhang
    • 学会等名
      ICIAM 2023 Tokyo
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [学会発表] A shifted LOPBiCG method for solving nonsymmetric shifted linear systems2023

    • 著者名/発表者名
      Ren-Jie Zhao, Tomohiro Sogabe, Tomoya Kemmochi, Shao-Liang Zhang
    • 学会等名
      ICIAM 2023 Tokyo
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [学会発表] Tensor product-type methods for solving Sylvester tensor equations2023

    • 著者名/発表者名
      Jing Niu, Tomohiro Sogabe, Jun-Feng Yin, Tomoya Kemmochi, Shao-Liang Zhang
    • 学会等名
      ICIAM 2023 Tokyo
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [学会発表] 探索的リバースアニーリングの提案と看護師勤務表作成問題への適用2023

    • 著者名/発表者名
      稲垣健亮, 曽我部 知広, 剱持 智哉, 張 紹良
    • 学会等名
      第10回 量子ソフトウェア研究発表会
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [学会発表] Cahn-方程式に対する不連続Galerkinスキームの構築2023

    • 著者名/発表者名
      髙橋春登, 剱持智哉, 曽我部知広, 張紹良
    • 学会等名
      日本応用数理学会 若手の会 第8回学生発表会
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [学会発表] Randomized Kaczmarz法の拡張と数値的収束性について2023

    • 著者名/発表者名
      安達 和晃, 曽我部知広, 剱持智哉, 張紹良
    • 学会等名
      日本応用数理学会 若手の会 第8回学生発表会
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [学会発表] テンソル行列化に対するサイクリック分割を用いた高次特異分解の並列化2023

    • 著者名/発表者名
      萬本 遼太郎 , 曽我部知広, 剱持智哉, 張紹良
    • 学会等名
      日本応用数理学会 若手の会 第8回学生発表会
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [学会発表] 定数係数二階線形微分方程式を解くための量子変分アルゴリズム2023

    • 著者名/発表者名
      菅谷 遼, 曽我部知広, 剱持智哉, 張紹良
    • 学会等名
      日本応用数理学会 若手の会 第8回学生発表会
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [学会発表] 3元体F3上の線形方程式を解くための量子アルゴリズム2023

    • 著者名/発表者名
      田村 隼也, 曽我部知広, 剱持智哉, 張紹良
    • 学会等名
      日本応用数理学会 若手の会 第8回学生発表会
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [学会発表] Block tensor product-type methods for solving Sylvester tensor equetions with multiple right-hand sides2023

    • 著者名/発表者名
      牛静, 曽我部知広, 剱持智哉, 張紹良, 社磊
    • 学会等名
      日本応用数理学会 若手の会 第8回学生発表会
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [学会発表] 非対称シフト線形方程式のための反復法 ―Shifted Bi-CGSTAB法に基づいて―2023

    • 著者名/発表者名
      趙 仁傑 , 曽我部知広, 剱持智哉, 張紹良
    • 学会等名
      日本応用数理学会 若手の会 第8回学生発表会
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [学会発表] 非対称シフト線形方程式のためのBiCGStab法に基づく数値解法2022

    • 著者名/発表者名
      趙 仁傑,曽我部 知広,剱持 智哉,張 紹良
    • 学会等名
      日本応用数理学会 2022年度 年会
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
  • [学会発表] 行列方程式に対する反復法のためのテンソル構造保存型前処理について2022

    • 著者名/発表者名
      佐竹 祐樹,曽我部 知広,剱持 智哉,張 紹良
    • 学会等名
      日本応用数理学会 2022年度 年会
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
  • [学会発表] Laplace-Beltrami作用素を含む動的境界条件を持つCahn-Hilliard方程式の構造保存数値解法2022

    • 著者名/発表者名
      和田哲弥,剱持 智哉,曽我部 知広,張 紹良
    • 学会等名
      日本応用数理学会第19回研究部会連合発表会
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
  • [学会発表] 最小二乗問題に対するtwo-subspace randomized extended Kaczmarz法の拡張2022

    • 著者名/発表者名
      安達和晃,曽我部知広,剱持智哉,張紹良
    • 学会等名
      日本応用数理学会第19回研究部会連合発表会
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
  • [学会発表] 三角形分割の形状に対してロバストな不連続Galerkin法の誤差解析2022

    • 著者名/発表者名
      髙橋春登,剱持智哉 ,曽我部知広 ,張紹良
    • 学会等名
      日本応用数理学会 若手の会 第8回学生研究発表会
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
  • [学会発表] 行列積のトレースに対するArnoldi法2022

    • 著者名/発表者名
      新川寛太,曽我部 知広,剱持 智哉,張 紹良
    • 学会等名
      日本応用数理学会 若手の会 第8回学生研究発表会
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
  • [学会発表] 閉曲線に対するヘルフリッヒ流方程式の 構造保存数値解法の構築2021

    • 著者名/発表者名
      宮﨑 瑛士,剱持 智哉,曽我部 知広,張 紹良
    • 学会等名
      日本応用数理学会 2021年度 年会
    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
  • [学会発表] 3階テンソルに対するHOOI法の局所最適化の順序について2021

    • 著者名/発表者名
      張田穎,曽我部知広,剱持智哉,張紹良
    • 学会等名
      日本応用数理学会 2021年度 年会
    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
  • [学会発表] 動的境界条件を持つ 多次元Cahn-Hilliard方程式に対する 構造保存数値解法2021

    • 著者名/発表者名
      和田哲弥,剱持 智哉,曽我部 知広,張 紹良
    • 学会等名
      日本応用数理学会 2021年度 年会
    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
  • [学会発表] 指定領域内の多項式固有値問題に対するSakurai-Sugiura 法とEhrlich-Aberth 法の組み合わせについて2021

    • 著者名/発表者名
      皆川 凜太朗,曽我部 知広,剱持 智哉,張 紹良
    • 学会等名
      日本応用数理学会 2021年度 年会
    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
  • [学会発表] The double exponential formula for the matrix fractional power2021

    • 著者名/発表者名
      F. Tatsuoka, T. Sogabe, Y. Miyatake, T. Kemmochi, S.-L. Zhang
    • 学会等名
      Czech-Japanese Seminar in Applied Mathematics
    • 関連する報告書
      2020 実施状況報告書
    • 国際学会
  • [学会発表] On the *-congruence Sylvester equation2020

    • 著者名/発表者名
      Yuki Satake, Tomohiro Sogabe, Tomoya Kemmochi, and Shao-Liang Zhang
    • 学会等名
      ICMASE2020
    • 関連する報告書
      2020 実施状況報告書
    • 国際学会
  • [学会発表] On an interval truncation method of the double exponential formula for the matrix logarithm2019

    • 著者名/発表者名
      F. Tatsuoka, T. Sogabe, Y. Miyatake, S.-L. Zhang
    • 学会等名
      SIAM East Asian Section Conference 2019 (EASIAM 2019)
    • 関連する報告書
      2019 実施状況報告書
    • 国際学会
  • [学会発表] 数値積分に基づく行列対数関数の計算について2019

    • 著者名/発表者名
      立岡文理, 曽我部知広, 剱持智哉, 張紹良
    • 学会等名
      RIMS研究集会「諸科学分野を結ぶ基礎学問としての数値解析学」
    • 関連する報告書
      2019 実施状況報告書
  • [学会発表] 行列実数乗の計算に対する数値積分法のための前処理について2019

    • 著者名/発表者名
      立岡文理, 曽我部知広, 剱持智哉, 張紹良
    • 学会等名
      日本応用数理学会 2019年度年会
    • 関連する報告書
      2019 実施状況報告書
  • [学会発表] 未知の行列とその複素共役転置を同時に含むSylvester方程式について2019

    • 著者名/発表者名
      佐竹祐樹,曽我部知広,剱持智哉,張紹良
    • 学会等名
      日本応用数理学会 2019年度年会
    • 関連する報告書
      2019 実施状況報告書

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公開日: 2019-04-18   更新日: 2024-12-25  

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