| 研究課題/領域番号 |
19K14496
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 東京電機大学 (2023)
岡山大学 (2022)
日本大学 (2020-2021)
東京大学 (2019) |
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研究代表者 |
柴田 康介 東京電機大学, 工学部, 助教 (60819671)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2020年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2019年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | 特異点 / 代数幾何学 / 双有理幾何学 / 弧空間 / 極小対数的食い違い係数 / 商特異点 / PIA予想 / LSC予想 / hyperquotient特異点 / 最小対数的食い違い係数 / 下半連続性予想 / アークスペース / ジェットスキーム / 可換環論 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
双有理幾何学の特異点を研究する際には双有理幾何学の特異点の不変量である最小対数的食い違い係数について研究することが重要となる。しかし、最小対数的食い違い係数を計算する例外因子の情報について適切な解析手法がないため、調べることが困難となってきた。本研究では双有理幾何学の特異点を可換環論の特異点の不変量と双有理幾何学の特異点の不変量の関係を調べることを目標とする。まずは、完全交叉の場合について可換環論の特異点の不変量と双有理幾何学の特異点の不変量の関係について調べ、そこから一般の場合について研究し、最後に可換環論の不変量の情報から最小対数的食い違い係数を計算する例外因子の情報を得る手段を研究する。
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| 研究実績の概要 |
昨年度までは商特異点の中で不変な元で定義される特異点を弧空間を使い極小対数的食い違い係数の研究をしてきた。今年度は半不変である元で定義される完全交叉特異点を群の作用による商で定義される特異点に対して、これまで示してきた結果を一般化するために研究をした。特に商特異点の中で不変な元で定義される特異点が対数的端末特異点の場合に示せていたPIA予想と下半連続性予想を示すことを目標にした。
今回研究をしたこの特異点は商特異点の中で不変な元で定義される特異点よりも広いクラスの特異点であり、特に３次元の端末特異点を全て含む特異点であることが分かっている。この研究の結果、この特異点に対して、対数的端末特異点である場合については、PIA予想と下半連続性予想を示すことができた。これらの研究結果は論文としてまとめ、ジャーナルに投稿中である。
さらにPIA予想の反例になる特異点を発見した。今までの研究では商特異点の中で不変な元で定義される特異点について弧空間を研究をしているときに、対数的標準特異点の場合に弧空間が対数的端末特異点の場合には起こらない現象が起きるためPIA予想の証明ができていなかった。そこで今年度はこの現象が起こる例を多く作り調べたところ極小対数的食い違い係数を弧空間を使い計算をする際に、対数的端末特異点では起こらないことが起きる例を見つけることができた。そして、その例がPIA予想の反例になっていることが分かった。さらにこの反例を使いfamilyの場合の下半連続性予想は成り立たない例を作ることができた。この結果をまとめ論文に書いている状況である。
これらの研究は中村勇哉氏との共同研究である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
これまでの行っていた研究結果を、さらに広い特異点クラスに一般化することができたことと、さらに成り立つと思われていたPIA予想について、対数的標準特異点の場合に反例を見つけることができたため。
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| 今後の研究の推進方策 |
PIA予想の反例の発見には、対数的端末特異点の場合には起こらないが、対数的標準特異点の場合に起こる弧空間の現象を調べていることがきっかけであった。
この現象についてさらに詳しく調べることで対数的標準特異点の場合のLSC予想について研究をしたい。
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