| 研究課題/領域番号 |
19K14497
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 東京学芸大学 |
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研究代表者 |
相原 琢磨 東京学芸大学, 教育学部, 准教授 (40714150)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2020年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2019年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | 準傾対象 / 準傾変異 / 準傾離散 / 完全導来圏 / ボンガルツ問題 / dg多元環 / 準傾連結 / ボンガルツ型条件 / 三角同値 / 導来同値 / 次数付き微分多元環 / 準傾クイバー / 台τ傾加群 / 台τ傾クイバー / τ傾有限 / 準傾連結性 / 準傾離散性 / τ傾加群 / 導来圏 / 三角圏 / 傾理論 / 傾変異 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
「多元環の表現論」とは、多元環に付随する加群圏や導来圏を研究するものである。導来圏は加群圏のホモロジカルな情報をすべて含んでいる圏であり、ホモロジー代数を研究する上では欠かせない道具である。中でも、導来圏の圏構造が等しい（導来同値な）多元環の研究は近年盛んに行われている。当該研究の目的は主に、導来圏および導来同値に関する様々な計算を線型代数的手法や組み合わせ的手法に帰着させ、導来圏の圏構造を解析することおよび導来同値の具体的な計算方法を与えることである。特に、導来同値を引き起こす傾対象の全容を解明することが目標である。
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| 研究実績の概要 |
本研究の主な目的は、多元環に付随する三角圏（導来圏、特異圏、安定圏など）を具体的な方法により解析することである。ここでは特に、導来同値をコントロールしている準傾対象に注目し、与えられた準傾対象から新しい準傾対象を構成するための準傾変異を考える。これにより、様々な計算を線型代数的手法や組み合わせ的手法に帰着させることができる。（準傾変異理論）
この準傾変異理論における大きな問題は「準傾対象の豊富性問題」である。つまり、準傾対象が準傾変異によってすべて記述しきれるのか・記述しきれないほど多く存在するのかという問題である。準傾変異によってすべての準傾対象を記述できるとき、「準傾連結性を満たす」といい、準傾対象が（本質的に）有限個となるとき、「準傾離散性を満たす」という。本研究では主に、いつ準傾連結性・準傾離散性を満たすかを解明することを目標とする。
令和５年度は特に、「準傾離散性の遺伝性」および「ボンガルツ問題」、「傾対象の非豊富性」に関する研究を行った。前二者は令和４年度から引き続き行った研究によるもので、そこで得られた結果を用いて多数の準傾（非）離散な多元環を構成することができた。さらに、nクロネッカーdg多元環の準傾離散性について考察し、部分的な分類を与えることができた。
後者の「傾対象の非豊富性」は、「傾対象が自明なもののみとなる多元環の分類」に関する問題である。このような多元環に導来同値な（通常の意味での）多元環は、自分自身のみとなり、「導来単純」とも呼ばれる（導来単純多元環の正確な定義はこれより広いことに注意する）。先行研究によって、局所環や完全グラフを基礎グラフとしてもつクイバーによって与えられる根基平方零の多元環は、実際に自明な傾対象しかもたないことが知られている。本研究ではさらに、自明な傾対象のみをもつ岩永・ゴーレンシュタイン多元環の完全な分類を与えた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究課題の大きな目標である「準傾対象の豊富性問題」に対して、（本質的に）有限である場合（準傾離散性）がどのくらい現れるか、さらに、多元環の準傾非離散性の判定について深く理解することができた。また、導来単純な多元環の分類に関して、部分的な解釈を与えることができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後も「準傾対象の豊富性問題」に取り組み、解決を目指し研究を行う。特に、以下の問題について取り組む。
１，準傾離散なnクロネッカーdg多元環の完全分類
２，傾対象が自明なもののみとなる多元環の完全分類
３，ボンガルツ問題
４，準傾離散性を満たす群環の分類
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