| 研究課題/領域番号 |
19K14518
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 沼津工業高等専門学校 |
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研究代表者 |
端川 朝典 沼津工業高等専門学校, 教養科, 准教授 (80794015)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
2,210千円 (直接経費: 1,700千円、間接経費: 510千円)
2021年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2020年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2019年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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| キーワード | 頂点作用素代数 / 共形デザイン / Sn級 / 整数格子 / 代数的組合わせ論 / 球面デザイン / 代数的組合せ論 / デザイン / ヒルベルト空間 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究の目指すところである,球面デザインと共形デザインを統一的に捉えられるデザイン理論の構築達成を目指す第1歩として次の２点を重点的に行う.
(1)一次元場の量子論的観点からの球面デザインの一般化
(2)調和共形デザインの導入値具体例の考察
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| 研究実績の概要 |
頂点作用素代数（以下、VOA）は、二次元共形場理論を背景に持つ代数構造であり、組合せ的対象である整数格子が持つ性質と類似した性質を持つ。整数格子、VOAの構造的対称性を測る一つの尺度として、それぞれ球面デザインと共形デザインがある。球面デザインは、格子とは関係なく定義され、さらに等質空間において一般化されている。しかし共形デザインはその一般化では捉えられない。本研究の目的は、様々な具体例を考察することで統一的に捉えられるデザイン理論を構築することである。新たな具体例を得ることは、その例を考察し共通の性質を見出す源となり得るので重要である。またSn級のVOAの最小共形重み空間は共形n-デザインとなるので、この具体例を得ることも重要である。R3,4年度にS5級となる格子VOAの素数位数pのcyclic orbifoldについて調査した。R3年度にp>3のとき大体のcyclic orbifoldの最小共形重み空間が共形4デザインにならないことを、あるW代数の表現論と計算機を用いることで確かめた。R4年度でさらに跡公式や組合せデザインを精査し、計算機を用いない手法でS5級となるcyclic orbifoldの候補を7つ挙げられた。そこからさらにW代数の表現論を用い3つを除外した。残りの4つはp=3のときの例外自己同型写像の固定点の計算でS5級となることを示した。R5年度で精査していく中でp=5のときに、除外しきれていないcyclic orbifoldがあることが判明した。このVOAは、これまでの研究で着目していたW代数を部分VOAとして持っておらず、跡公式とW代数の表現論を組み合わせた手法が適用できなかった。そこで別手法としてCasimir元と呼ばれる元を具体的に表し、S4級にならないことを示した。これも含め論文にまとめている最中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
成果を精査していく中でp=5について考慮されていないVOAがあることが判明した。このVOAについては、これまでの研究で行っていた跡公式とW代数の表現論を用いた手法ではS5級の候補のリストから除外することができず, またそのVOAの元となる格子が良い自己同型群を持つ格子であったため、S5級になる可能性があった。その理由からS5級になる、ならない両方の観点から自己同型写像の固定点や特殊な元の跡公式等を計算し、ここに時間を多く割いたため全体としての進捗が遅れてしまった。現在はそのVOAもS5級とならないことを示せ、それを踏まえて論文作成中である。
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| 今後の研究の推進方策 |
共形デザインの具体例や分類を行うことは本研究の目的である共形デザインと球面デザインを統一的に扱う一般化の考察に役立つことが期待される。前年度までに得られた分類を論文としてまとめ、共通する性質から新たな具体例の模索に努める。また研究計画時に導入を試みた新たなデザイン案が正当なものになるか今回の分類で得られた具体例に対して考察する。
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