研究課題
若手研究
解析学的な非線形偏微分方程式の解であるエルミート・アインシュタイン計量の存在と代数的な安定性が同値であることが知られており，小林-ヒッチン対応と呼ばれている．解析と代数という，本質的に異なる分野から定まる2つの概念が同値であるという驚くべき定理だが，証明は高度に技術的であることが知られていた．本研究の目標は，これら2つの概念がどのように関係し合うのかを，変分法という解析的手法とQuotスキームという代数的な物体を用いて，幾何学的直観に訴える形で理解することである．
滑らかな複素射影代数多様体上の正則ベクトル束について知られた小林-Hitchin対応と呼ばれる理論について研究を行った．非線形偏微分方程式論を用いた既存の方法に代えて，Donaldson汎関数と呼ばれるエネルギー汎関数の漸近挙動の解析と代数幾何でのQuotスキームを用いることで，変分法的観点から小林-Hitchin対応における微分幾何と代数幾何の関係を明らかにした．多くの関連する分野の話題についても研究を行った．
小林-Hitchin対応は，Hermite-Einstein計量と呼ばれる非線形偏微分方程式の解の存在が代数幾何学的な安定性条件と同値であることを主張する非常に重要な定理である．本研究では，このような定理がなぜ成立するのかを，変分法の観点からより幾何学的直感に訴える形で理解するために重要な結果を示した．特に，Fubini-Study計量のQuotスキーム極限を定義することにより，極限Donaldson汎関数の漸近挙動を記述する代数的不変量を求めることに成功した．
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