| 研究課題/領域番号 |
19K14529
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 九州大学 (2023)
京都大学 (2019-2022) |
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研究代表者 |
森田 陽介 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (70804318)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2020年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2019年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 幾何学 / Lie群 / 等質空間 / 固有な作用 / Clifford-Klein形 / K理論・KO理論 / Conley指数 / condensed set / Adams予想 / 位相力学系 / Dynkin指数 / コホモロジー |
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| 研究開始時の研究の概要 |
群作用・固有性・コホモロジーに関わる幾何学を探究する。具体的には以下の研究に取り組む予定である。
等質空間を不連続群の作用で割って得られる多様体を Clifford-Klein 形という。本研究では等質空間 G/H が非 Kaehler な G-不変複素構造を持つ場合（典型的には、半単純 Lie 群の楕円軌道の場合）に、Clifford-Klein 形の Dolbeault コホモロジーと Lie 環の相対コホモロジーを比較することで、G/H がコンパクトな Clifford-Klein 形を持つための新しい必要条件を得ることを目指す。
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| 研究成果の概要 |
1) F. Kassel・N. Tholozan両氏との共同研究で、等質空間がコンパクト商を持つのは、ある球面束が自明束とfibrewiseホモトピー同値なときに限ることを示した。KO理論のAdams作用素の計算により、コンパクト商を持たない等質空間の新しい例を数多く得た。
2) 位相力学系の孤立不変集合に対してConley指数という不変量が定義される。既存の定義は指数対(N,L)を用いるが、私はN-Lのみが本質的なことに着目し、よりシンプルなConley指数の定義を与えた。またcondensed setを用いるとConley指数をpoint-set levelで自然に定義することを観察した。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
1) 等質空間のコンパクト商の存在問題は、1980年代後半から多くの数学者によって様々な方法で研究されてきた。今回我々が与えた必要条件は、多くの場合で既存の結果を大幅に改良する強力なものである。また KO 理論・Adams 作用素といった代数トポロジーの重要概念と結びついている点でも興味深いと思う。
2) Conley 指数は力学系の研究において、純粋数学・応用の双方で広く用いられている道具である。また Floer 理論の定式化でも用いられている。今回与えた Conley 指数の定式化の改良が、こうした分野の研究に役立つことを期待している。
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