| 研究課題/領域番号 |
19K14533
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 広島大学 (2021-2022)
九州大学 (2019-2020) |
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研究代表者 |
寺本 圭佑 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 助教 (10830002)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
2,860千円 (直接経費: 2,200千円、間接経費: 660千円)
2021年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2020年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2019年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | フロント / 焦面 / ガウス写像 / 特異点 / 混合型曲面 / フロンタル / 焦曲面 / ガウス曲率 / 主曲率 / リバクール変換 / 波面 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
3次元ユークリッド空間内の特異点を持つ曲面に波面と呼ばれるクラスがある。波面は、特異点においてもガウス写像が定義できる。本研究では、ガウス写像に現れるカスプ特異点の持つ微分幾何学的性質を通して、対応する波面の微分幾何学的性質や位相的性質を明らかにすることを目的とする。また、波面の幾何学の研究手法と特異点論的手法を応用し、3次元ローレンツ多様体内のはめ込まれた曲面のクラスである混合型曲面の光的点(誘導計量の特異点)の周りにおける幾何学の基礎理論構築を目指す。
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| 研究成果の概要 |
特異点を持つ曲面について、その焦面やガウス写像に現れる特異性を幾何学的性質を用いて特徴づけた。特に、有界なガウス曲率を持つカスプ辺に対して、特異曲率の符号とガウス曲率の符号をガウス写像に現れる特異点型を用いて特徴づけた。さらに、ある表現公式で与えられる曲面の特異点の存在・非存在や特異点における幾何学的不変量の性質を明らかにした。
3次元ミンコフスキー空間内の特異計量を持つ曲面（混合型曲面）については、光的点集合の像と光円錐の接触を考察することで、二種類の光的可展面の定義を与えた。さらに、光的可展面に現れる特異点の特徴づけを行った。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
近年、特異点を持つ曲面の微分幾何学的研究は急速に発展している。本研究では、波面やフロンタルという特異点を許容する曲面のクラスにおいて、外的な微分幾何学の研究を行った。これは、曲面のガウス写像やそれを用いて定義される曲面に現れる特異点を考察することで、初期曲面の幾何学的性質を明らかにできるという意義を持つ。この方法において、波面に対して新たな幾何学的性質を明らかにした。
また、３次元ミンコフスキー空間は不定値な計量を持つ空間であり、曲面が正則でもその誘導計量が退化する点を持ちうる。このような曲面に対しても、特異点論を用いることで、微分幾何学が展開できることを示した。
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