| 研究課題/領域番号 |
19K14546
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分12010:基礎解析学関連
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| 研究機関 | 北海道大学 |
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研究代表者 |
長谷部 高広 北海道大学, 理学研究院, 准教授 (00633166)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2020年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2019年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 単調独立性 / 分枝過程 / ランダム行列 / マルコフ過程 / 加法過程 / Loewner chain / 自由確率論 / 巡回的単調独立性 / ブール独立性 / 自由独立性 / branching process / monotone independence / random matrix / bifree independence / Markov-Krein変換 / 単峰性 / 単葉関数 / 単調確率論 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
量子物理学においては物理量が単なる数値ではなく「非可換」かつ「確率変数」である．数学的には関数解析学や作用素環論において，確率論を取り込みながら量子論の基礎が作られてきた．いったん量子物理を離れてその数学的構造に注目して調べてみると，確率論との興味深い対比が見られる．例えば，複数の物理量（非可換確率変数）に対して「独立性」を数学的に定義すると，幾つかの異なった定義が可能である．その中で「単調独立性」というものが知られており，本研究ではこの単調独立性を軸にした非可換確率論と古典的な確率論の間の対応関係，さらに複素関数論における単葉関数の対応関係を解明する．
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| 研究成果の概要 |
本研究では単調独立性の応用範囲をさらに広げることに成功した．既知だったLoewner chainとユニタリ単調加法過程の対応関係に加えて，単位円周上の加法過程との対応関係を新たに構成したことにより，確率過程との関わりが広がった．この研究に動機づけられて，人口変化等の確率モデルである分枝過程について考察し，その背後にLoewner chainの構造があることを発見した．これにより分枝過程の期待値や絶滅確率を複素関数論の観点から解析するという新しい方法を導入した．また，巡回的単調独立性と自由独立性を組み合わせて，摂動を含むランダム行列を包括的に扱う枠組みを提案した．
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
本研究は確率過程，非可換確率過程，複素関数論，ランダム行列といった分野を横断する研究である．本研究の成果としてこれらの分野どうしに新たな結びつきが生まれ，分野どうしが互いに交流を深めるという学術的な意義があった．特に，ランダム行列は幅広く科学に応用されている．自由確率論はランダム行列を解析する一つの大きな手法になっており，応用先として既に量子情報理論や深層学習理論がある．本研究では摂動を含むようなランダム行列の扱いに対する基本的な枠組みを提案しており，将来的にランダム行列のさらなる応用を目指していく上で参考になったり役に立ちうると考えている．
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