| 研究課題/領域番号 |
19K14564
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 北海道大学 |
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研究代表者 |
浜向 直 北海道大学, 理学研究院, 准教授 (70749754)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2020年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2019年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | 粘性解 / ガウス曲率流方程式 / 完全非線形楕円型方程式 / 比較定理 / ハミルトン・ヤコビ方程式 / 勾配評価 / 完全非線形放物型方程式 / 平均曲率流方程式 / 動的境界値問題 / 決定論的ゲーム / 界面発展方程式 / 動的境界条件 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
平均曲率流方程式に代表される特異性を持つ界面発展方程式に対し、動的境界条件を課した問題、また不連続外力を持つ問題・不連続解が期待される問題など、不連続性を伴う問題の数学解析を行います。粘性解の一意性を導くための比較定理が、研究の柱の一つとなります。また、最適制御理論やゲーム理論に基づいた解の表現公式の確立も目指し、さらにそれを用いて凸性などの解の形状や、解の長時間挙動などの諸性質も調べます。
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| 研究実績の概要 |
非線形放物型偏微分方程式の初期値問題や、その解の定常状態を記述する非線形楕円型方程式の境界値問題の数学解析が主な研究内容である。典型的な方程式としては、形の動きを記述する様々な界面発展方程式、特に、界面を等高面表示したときに現れる特異性を持つような方程式を考える。粘性解の一意存在や、漸近挙動などの諸性質を調べることが目的である。
令和５年度は、主に前年に得られた成果を論文にまとめるための作業に取り組んだ。そのために、結果の改良・一般化といったブラッシュアップ、また先行研究との比較について議論した。具体的な内容は以下の通りである：
（１）石の摩耗過程を記述する非局所ガウス曲率流方程式の解の待ち時間効果：海底や川底を転がる石の形状変化を記述する、非局所ガウス曲率流方程式の粘性解の挙動を考える。これまで、石の形状を等高面表示した場合に、初期時刻における石のへこんだ部分がしばらく削れないこと、すなわち解の待ち時間効果が起きることを証明していた。同じことが、石の形状がグラフ表示された場合にも成り立つことを今回確認した。石井-三上（2001）で導入された、グラフ表示の場合の設定に基づいて議論した。本研究は、髙橋怜甫氏との共同研究である。
（２）非線形楕円型固有値問題の固有値の下からの評価：有界凸領域において、斉次ディリクレ境界条件下での楕円型固有値問題を考える。これまで、この固有値に対する下からの評価を、対数凹関数に対するGagliardo-Nirenberg型の不等式を用いて導いていた。このような固有値の下からの評価は、古典的なGagliardo-Nirenberg不等式を用いた方法でも得られるので、今回はそれに関する検討をした。本研究は、藤田安啓氏、五十嵐蓮氏との共同研究である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
以下の点において、一定の成果が得られたと判断したため、おおむね順調な進展とした。
（１）の石の摩耗過程の待ち時間の問題に関して：グラフ表示の場合の粘性解理論を確立した石井-三上（2001）の設定に基づき議論したが、この論文で示された比較定理や安定性などの結果を適切に応用することで、今回の待ち時間効果を証明できた。また、グラフ表示された場合は、等高面表示の場合よりも、待ち時間効果が起きる集合を簡単に表現できることが分かった。これは、初期関数の連続性から導かれる石の形状の特徴を用いることで分かった性質である。
（２）の非線形楕円型固有値問題に関して：古典的なGagliardo-Nirenberg不等式を用いた評価は素朴な方法である。前年確立した方法との比較について、踏み込んで検討することができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
（１）の石の摩耗過程の待ち時間の問題に関して：今後の検討課題として、等高面表示された場合も、グラフ表示された場合も、待ち時間の適切な下界を与えることが考えられる。現状でも下界は得られているが、石の形状によってはあまり良い評価とならないため、その改良が課題である。
（２）の非線形楕円型固有値問題に関して：特別な（簡単な）領域形状の場合に、本研究で得られた固有値評価と先行結果における評価とを比較することが、一つの課題である。
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