| 研究課題/領域番号 |
19K14574
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 大阪公立大学 (2022)
大阪府立大学 (2019-2021) |
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研究代表者 |
菅 徹 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (60647270)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
3,640千円 (直接経費: 2,800千円、間接経費: 840千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2021年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2020年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2019年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | 双安定反応拡散方程式 / 定常解 / 進行波解 / 分岐 / 界面 / 反応拡散方程式 / 双安定 / 領域の特異極限 / 進行波 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
双安定反応拡散方程式の定常解構造および解の界面の挙動について研究を行う。まず、ネットワークの管状近傍として得られる領域において定常解構造を明らかにする。また、ネットワーク上の方程式に対して解の界面の解析を行う。特に、ネットワークの接合点が界面の運動に与える影響、および界面同士が衝突する際の解の形状を詳細に調べる。さらに、2次元全空間において複数の進行波解の間を振動し続ける解を構成する。
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| 研究実績の概要 |
全空間上の双安定反応拡散方程式に関する研究では、進行波解の安定性に関する考察を行った。特にV字型進行波解に漸近するための初期値に対する条件について、既存の研究で得られているものの改良を行った。それを基にして、初期界面が非有界な解の漸近挙動を解析した。
九州工業大学の若狭徹氏とともに、ネットワーク上の双安定反応拡散方程式の定常問題について考察を行った。特に、接合条件に含まれるパラメータについて極限をとった極限方程式の導出と解析を行い。数値計算ソフトを補助的に用いることで、3重接合点がある場合、およびネットワークの各辺が横並びになっている場合に関して、自明解から分岐した解が2次分岐を繰り返すことで安定化する構造を捉えた。
明治大学の小川知之氏、池田幸太氏と共同で、交通流のモデルに対する研究を行った。渋滞現象を理解するために特に重要となる進行波解について考察を行い、フロント型進行波解、パルス型進行波解、空間周期的な進行波解の分岐図式における構造を明らかにした。
関連する研究では、東京工業大学の小野寺有紹氏とフィレンツェ大学のRolando Magnanini氏とともに、非線形境界条件を有する楕円型方程式であるBackus問題の研究を行った。まず、1次式で与えられる特殊解のまわりでの線形化方程式に対し、ヘルダー空間における解の評価を導出した。さらにそれを用いて、特殊解の近傍における軸対称な解および折り返しに関して対称な解の構成に成功した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
各研究において進展が見られるが、計画当初に考えていたものと研究の方向や解析手法を変更しなくてはならない研究が発生しており、遅れの原因の1つとなっている。ネットワーク上の方程式の定常問題に関しては、一部の研究について想定していた以上に煩雑な計算が必要であり、数値計算ソフトを用いてもなお方針が見えない状況にある。一方で対称性を持つ解に限れば解構造についての理解が進んできており、今後さらなる進展が期待できる。全空間における問題では、異なる速さの進行波解に遷移する解が現在用いている方法ではまだ得られていない。進行波解の安定性を用いた別の方法を合わせて研究を進めることで進度改善を図る。
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| 今後の研究の推進方策 |
若狭氏と共同で、ネットワーク上の方程式に対する定常問題の考察を行っていく。ネットワークが3重接合点を持つ場合、各辺が横並びになっている場合に関して、自明解から分岐した対称解が2次分岐を起こすか、起こす場合分岐点はいくつか、その際Morse指数がどのようになるかについて解析を進める。全空間における解の界面の挙動の研究については、まずは方程式の極限系として得られる曲率流方程式について考え、界面の速さが時刻とともに大きくなっていく解の構成を試みる。それを基に反応拡散方程式に対して同様な解の構成を行っていく。
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