| 研究課題/領域番号 |
19K14574
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 大阪公立大学 (2022-2023)
大阪府立大学 (2019-2021) |
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研究代表者 |
菅 徹 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (60647270)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,640千円 (直接経費: 2,800千円、間接経費: 840千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2021年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2020年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2019年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | 双安定反応拡散方程式 / 定常解 / 進行波解 / 分岐 / 界面 / 反応拡散方程式 / 双安定 / 領域の特異極限 / 進行波 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
双安定反応拡散方程式の定常解構造および解の界面の挙動について研究を行う。まず、ネットワークの管状近傍として得られる領域において定常解構造を明らかにする。また、ネットワーク上の方程式に対して解の界面の解析を行う。特に、ネットワークの接合点が界面の運動に与える影響、および界面同士が衝突する際の解の形状を詳細に調べる。さらに、2次元全空間において複数の進行波解の間を振動し続ける解を構成する。
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| 研究実績の概要 |
ネットワーク上の双安定反応拡散方程式に関する研究では、ネットワークが木になっている場合に定常解の構造を考察した。ネットワークの辺の長さによって定常解が発生・消滅する分岐構造があることを示した。また、九州工業大学の若狭徹氏とともに、ネットワークの辺が横並びになっている場合について定常問題の考察を行い、対称な解の構造を明らかにした。
全空間上の問題については、空間2次元において、初期界面が複数の非有界な成分をもつ場合の解の漸近挙動を考察した。初期界面の各成分が遠方で直線に漸近する場合、対応する解がV字型進行波解を貼り合わせたものに漸近することを示した。
森田善久氏(龍谷大学)、安田修悟氏(兵庫県立大学)らとともに、flux limited Keller-Segelモデルに対する研究を行った。このモデルの進行波解に対する方程式が適当なパラメータについてfast-slow系に書き換えられることを見出し、その極限系においてフロント型進行波解とパルス型定常波解が存在することを示した。
小川知之氏(明治大学)、池田幸太氏(明治大学)らとともに交通流のモデルに対する進行波解の研究を行った。既に得られていた進行波解について数値計算による検証を行い、パラメータ空間における解の存在範囲を数値的に明らかにした。
小野寺有紹氏(東京工業大学)とRolando Magnanini氏(フィレンツェ大学)らとともに、非線形境界条件を伴う楕円型方程式の研究を行った。この方程式を特殊解まわりで線形化するとirregularなoblique derivative境界条件による微分損失の構造が現れ、方程式を解く際の障害となる。その問題を克服するために重みつきのアプリオリ評価の導出、およびNash-Moser型逐次近似法の適用可能性の検証を行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
ネットワーク上の方程式の定常問題に関しては、反応項を特殊なものにすることで詳細な解析が可能であると見込んでいたが、数値計算ソフトを使用してもなお解決が難しいほど煩雑な計算が必要であることが分かった。一般の反応項に対して対称な解を詳細に調べるよう方針を転換し、現在研究に進展が見られる。定常問題の解析の遅れに伴って界面運動の解析についても遅れが生じている。全空間における問題では、比較関数を構成する際にこれまでのアイデアだけでは難しい部分があり、それが原因で遅れが見られる。しかし劣解の構成については解決しているため、今後の解析で問題点の克服が期待される。
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| 今後の研究の推進方策 |
ネットワーク上の方程式に対する定常解および解の界面運動の考察を行っていく。ネットワークの辺が横並びになっている場合に関して、対称な定常解の枝が分岐図式上で単調にのびるのか、その枝の上に2次分岐を起こす点がいくつあるのかについて引き続き解析を行う。解のダイナミクスを知るために、解の界面の運動がどのように決まるのかについて特異摂動法を用いて解析する。全空間における問題については、空間2次元において初期界面が遠方で1次より速いオーダーで発散する場合の解の挙動について解析を行う。それを基にして、より複雑な初期界面をもつ解の挙動を調べる。
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