| 研究課題/領域番号 |
19K21019
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| 補助金の研究課題番号 |
18H05827 (2018)
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| 研究種目 |
研究活動スタート支援
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| 配分区分 | 基金 (2019)
補助金 (2018) |
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| 審査区分 |
0201:代数学、幾何学、解析学、応用数学およびその関連分野
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| 研究機関 | 中央大学 (2019)
東北大学 (2018) |
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研究代表者 |
直江 央寛 中央大学, 理工学部, 助教 (10823255)
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| 研究期間 (年度) |
2018-08-24 – 2020-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2019年度)
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| 配分額 *注記 |
2,990千円 (直接経費: 2,300千円、間接経費: 690千円)
2019年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2018年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
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| キーワード | ４次元多様体 / シャドウ / レフシェッツファイバー空間 / 微分構造 / 接触構造 / 結び目理論 / 特異点論 / ３次元多様体 / 4次元多様体 / ファイバー束 / 結び目 / ザイフェルトファイバー空間 / スパイン / 低次元トポロジー / トポロジー / シャドウ複雑度 / ファイバー構造 / ハンドル分解 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
シャドウとは４次元多様体に適切に埋め込まれた２次元の多面体であり，４次元多様体の一種の表示を与える．また，シャドウのもつ頂点の個数の最小値としてシャドウ複雑度と呼ばれる４次元多様体の不変量が定義される．本研究では，シャドウを用いた４次元多様体のファイバー束構造の研究，及びシャドウ複雑度を用いた４次元多様体の分類・特徴づけを行う．具体的には，４次元多様体のレフシェッツ束とその派生概念に焦点を当て，シャドウが２次元多面体であることを活用し研究を行う．また，シャドウ複雑度に関しては，境界の３次元多様体の幾何構造にも着目し研究を進める．
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| 研究成果の概要 |
４次元多様体のシャドウを用いて微分構造やファイバー構造に関する研究を行った．主に得られた結果は次のとおりである．（１）ディバイドに対するシャドウの構成法および Lefschetz 束のシャドウ表示を与えた．（２）非輪状４次元多様体が標準的な４次元球体と微分同相であるための十分条件をシャドウの文脈で述べた．（３）２次元結び目に対するシャドウを定義し，その具体例とシャドウ複雑度の計算を行った．（４）フロースパインと接触３次元多様体の間の対応と具体例の計算を行った．
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
シャドウは４次元多様体に関する様々な観点を与える；ハンドル分解，``多面体上の''円板束，曲面の埋め込み・はめ込み．今回の研究は，これらの概念を４次元多様体の中で相互に理解しつつ，４次元トポロジーで重要視される微分構造やファイバー構造の研究に対して新たな研究手法を与えるというものである．また，シャドウは多面体という組み合わせ的性質を持つ応用性の高い対象であり，具体例としても扱いやすい側面がある．シャドウの適用例・応用例を提示したことで，今後の低次元トポロジーにおける研究のひとつの方針を与えたと言える．
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