| 研究課題/領域番号 |
19K21830
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| 研究種目 |
挑戦的研究(萌芽)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
中区分11:代数学、幾何学およびその関連分野
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
大槻 知忠 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (50223871)
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| 研究分担者 |
古田 幹雄 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (50181459)
小島 定吉 早稲田大学, 理工学術院, その他(招聘研究員) (90117705)
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| 研究期間 (年度) |
2019-06-28 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
6,240千円 (直接経費: 4,800千円、間接経費: 1,440千円)
2021年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
2020年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2019年度: 3,250千円 (直接経費: 2,500千円、間接経費: 750千円)
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| キーワード | 結び目 / ３次元多様体 / 不変量 / 3次元多様体 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
3次元多様体の分類問題は、1970年代以降の幾何化予想のプログラムの進展の帰結として、3次元双曲多様体の分類に帰着される。一方、1980年代に数理物理的手法がトポロジーに導入され、3次元トポロジーには量子不変量が、4次元トポロジーにはゲージ理論がもたらされた。この両者は不変量の圏化によって関連づけられる。また、3次元双曲多様体の量子不変量のある種の漸近挙動に双曲体積が現れることが予想されている（体積予想）。この漸近挙動には、最近導入された不変量である3d-indexが関連することが期待されている。本研究では、これらを手がかりにして、「3次元双曲多様体の量子トポロジー」を創出することをめざす。
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| 研究成果の概要 |
結び目の Kashaev 不変量と双曲体積を関連づける体積予想は、量子トポロジーと双曲幾何をむすびつける懸案の予想である。また、Chern-Simons理論の非自明平坦接続における展開から得られる不変量は、まだあまり研究されておらず、未知の研究領域である。
双曲結び目や３次元双曲多様体の双曲構造のホロノミー表現に対応する非自明平坦接続におけるChern-Simons理論の摂動展開から得られる不変量は、体積予想の漸近展開の高次の項に関連することが期待される。これと関連するとおもわれる３次元双曲多様体の 3d-index の挙動について筆者は調べた。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
3次元多様体の幾何構造の手法による分類の帰結として、3次元多様体の分類問題は3次元双曲多様体の分類に帰着される。一方、1980年代に数理物理的手法がトポロジーに導入され、3次元のトポロジーには量子不変量がもたらされた。また、3次元双曲多様体の量子不変量のある種の漸近挙動に双曲体積が現れることが予想されている（体積予想）。この漸近挙動には、比較的最近に導入された不変量である3d-indexが関連することが期待されている。
本研究は、3次元双曲多様体の3d-indexの挙動について、成果を得た。これがさらに「3次元双曲多様体の量子トポロジー」という新しい研究領域を創出することをめざしている。
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