| 研究課題/領域番号 |
19KK0349
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| 研究種目 |
国際共同研究加速基金(国際共同研究強化(A))
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
猪奥 倫左 東北大学, 理学研究科, 准教授 (50624607)
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| 研究期間 (年度) |
2020 – 2023
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
12,480千円 (直接経費: 9,600千円、間接経費: 2,880千円)
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| キーワード | スケール不変性 / 対数型特異性 / 劣臨界近似 / 指数型非線形項 / スケール変換 / 特異定常解 / q-指数関数 / 非線形スケール変換 / 凝スケール変換 / q-対数関数 / 臨界問題 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究では，基課題で得たスケール不変則を統合する手法を発展させ，臨界問題を解析する包括的な手法を開発する．そのためには，実解析的手法・幾何解析的な知見の両方が高い水準で必要となる．臨界問題に関する実解析・幾何解析的な研究は伝統的にイタリアで盛んであり，特にFirenze大学，Milano大学が世界を牽引する研究拠点となっている．そこで本国際共同研究ではCianchi氏(Firenze大学)，Ruf氏・Terraneo氏(Milano大学)と共同研究を行い，必要な知識・技術の提供を受ける．これにより基課題で得たスケール則を融合し，臨界問題に対する包括的な解析手法を開発する．
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| 研究成果の概要 |
対数型特異性を伴う臨界問題として，特に指数型非線形項を持つ半線形熱方程式・半線形楕円型方程式の解析，および臨界関数不等式の解析，に取り組んだ．前者については特異解の構成および非一意性に対して，モデルケースとなる非線形項を発見し，それに一般非線形項の解析を帰着される新手法を開発した．また，後者については，臨界問題に現れる対数型特異性を，q対数関数と呼ばれる冪乗近似を用いて劣臨界問題の極限問題として記述することに成功し，それを用いてTrudinger--Moser不等式の集中レベルがTalenti関数の極限として記述できるという新現象を見出した．
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
半線形放物型・楕円型方程式は，これまでは冪乗非線形項といった理想的状況下において研究されることが多かった．冪乗非線形項はそのシンプルな見た目に反して豊富な数学的現象を提起するため，多くの関心を集めて深く理解されている．一方で，複雑なこの世界を理解するためには理想的状況の解析だけでは不十分であることも事実である．一般の指数増大度を持つ非線形項を扱うことを可能にした本研究は学術的・社会的に意義深いと考えられる．また，対数型特異性に対して体系的な研究手法はこれまでに十分に開発されてこなかった．本研究で提案した劣臨界近似法は，他の対数型特異性を伴う臨界問題にも応用可能であるため高い学術的意義を持つ．
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