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複素力学系の群論への応用:Burnside問題とHopf問題

研究課題

研究課題/領域番号 20654016
研究種目

挑戦的萌芽研究

配分区分補助金
研究分野 基礎解析学
研究機関早稲田大学 (2010)
岡山大学 (2008-2009)

研究代表者

松崎 克彦  早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (80222298)

研究期間 (年度) 2008 – 2010
研究課題ステータス 完了 (2010年度)
配分額 *注記
3,300千円 (直接経費: 3,300千円)
2010年度: 1,100千円 (直接経費: 1,100千円)
2009年度: 1,100千円 (直接経費: 1,100千円)
2008年度: 1,100千円 (直接経費: 1,100千円)
キーワード双曲空間 / 離散群 / タイヒミュラー空間 / 写像類群 / クライン群 / 双曲群 / 極限集合 / 等角不変測度 / ポアンカレ級数 / 収束指数
研究概要

グロモフ双曲空間に作用する等長変換からなる離散群について,等長変換による共役で与えられる自己単射準同型に関するco-Hopf問題を考えた.co-Hopf問題とは自己単射準同型が全射となる条件をさがす問題である.昨年度以来,quasiconvex cocompact群に対しては,共役で与えられる自己単射準同型が全射となることを示す議論を得ていたが,今年度はその細部を精査し,論文にまとめ,講演として発表することができた.また,古典的双曲空間のクライン群の場合はより広く発散型の群に対して成立するので,グロモフ双曲空間でもそれを目標とした.そのために解決するべき問題は,擬等角不変測度の一意性の適切な定式化にあることが解明できた.
写像類群の極限集合の孤立点とBurnside問題については,写像類群の固定点集合のある性質を仮定すれば孤立点の存在が証明できるところまではわかった.写像類群は位相的無限型のリーマン面のに対してはタイヒミュラー空間には不連続に作用するとは限らず,極限集合がタイヒミュラー空間内に定義される.多くの場合は極限集合は完全集合となる.しかし,写像類群の部分群としてリーマン面の等角自己同型群を考えると,極限集合が孤立点をもつためには,それは無限群であるがすべての真部分群が有限群であるような群を指数有限に含む必要があることがわかる.このような有限生成群はBurnside問題として研究されperiodic groupとよばれている.楕円モジュラー群の主合同部分群の剰余類群としてperiodic groupを実現すれば,対応するリーマン面の等角自己同型群としてそれはあらわれる.写像類群の非自明な元の固定点集合全体が閉集合であることを仮定すれば,このようなタイヒミュラー空間に対して写像類群の極限集合が孤立点をもつことが証明できた.

報告書

(3件)
  • 2010 実績報告書
  • 2009 実績報告書
  • 2008 実績報告書
  • 研究成果

    (12件)

すべて 2011 2010 2009 2008 その他

すべて 雑誌論文 (6件) (うち査読あり 5件) 学会発表 (4件) 備考 (2件)

  • [雑誌論文] Structure theorem for holomorphic self-covers and its applications2010

    • 著者名/発表者名
      E.Fujikawa, K.Matsuzaki, M.Taniguchi
    • 雑誌名

      RIMS Kokyuroku Bessatsu

      巻: B17 ページ: 21-36

    • 関連する報告書
      2010 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Checking atomicity of conformal ending measures for Kleinian groups2010

    • 著者名/発表者名
      K.Falk, K.Matsuzaki, B.O.Stratmann
    • 雑誌名

      Conform.Geom.Dyn.

      巻: 14 ページ: 167-183

    • 関連する報告書
      2010 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] The Patterson-Sullivan measure and proper conjugation for Kleinian groups of divergence type2009

    • 著者名/発表者名
      K.Matsuzaki, Y.Yabuki
    • 雑誌名

      Ergodic Theory Dynam. Systems 29

      ページ: 657-665

    • 関連する報告書
      2009 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] An example of self-covering of Riemann surface2009

    • 著者名/発表者名
      K.Matsuzaki, Y.Yabuki
    • 雑誌名

      Proceedings of the 16th ICFIDCAA

      ページ: 184-188

    • 関連する報告書
      2009 実績報告書
  • [雑誌論文] The Patterson-Sullivan measure and proper conjugation for Kleinian groups of divergence type2009

    • 著者名/発表者名
      K. Matsuzaki, Y. Yabuki
    • 雑誌名

      Ergodic Theory and Dynamical Systems 29

      ページ: 657-665

    • 関連する報告書
      2008 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Invariance of the Nayatani metrics for Kleinian manifolds2008

    • 著者名/発表者名
      K. Matsuzaki, Y. Yabuki
    • 雑誌名

      Georaetriae Dedicata 135

      ページ: 147-155

    • 関連する報告書
      2008 実績報告書
    • 査読あり
  • [学会発表] Patterson-Sullivan measure and proper conjugation of isometry groups on Gromov hyperbolic spaces2011

    • 著者名/発表者名
      Katsuhiko Matsuzaki
    • 学会等名
      リーマン面・不連続群論研究集会
    • 発表場所
      大阪国際交流センター
    • 年月日
      2011-01-09
    • 関連する報告書
      2010 実績報告書
  • [学会発表] An estimate of the maximal dilatations of quasiconformal automorphisms of annuli2010

    • 著者名/発表者名
      Katsuhiko Matsuzaki
    • 学会等名
      18th ICFIDCAA
    • 発表場所
      University of Macau
    • 年月日
      2010-08-16
    • 関連する報告書
      2010 実績報告書
  • [学会発表] 拡大ポアンカレ級数2010

    • 著者名/発表者名
      松崎克彦
    • 学会等名
      リーマン面不連続群研究集会
    • 発表場所
      名古屋大学
    • 年月日
      2010-01-10
    • 関連する報告書
      2009 実績報告書
  • [学会発表] Self-covering of hyperbolic surfaces2008

    • 著者名/発表者名
      K. Matsuzaki
    • 学会等名
      Workshop on Conformal, Quasiconformal Geometry and Dynamics, the Ahlfors-Bers Colloquium
    • 発表場所
      Rutgers University, USA
    • 年月日
      2008-05-08
    • 関連する報告書
      2008 実績報告書
  • [備考]

    • URL

      http://www.math.okayama-u.ac.jp/~matsuzak/

    • 関連する報告書
      2010 実績報告書
  • [備考]

    • URL

      http://www.math.okayama-u.ac.jp/~matsuzak/

    • 関連する報告書
      2009 実績報告書

URL: 

公開日: 2008-04-01   更新日: 2016-04-21  

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