研究課題
挑戦的萌芽研究
結晶成長現象を記述する方程式で最も簡単なものは、結晶成長の法速度Vが結晶方位(法ベクトル)nにのみよる関数M(n)>0に比例する場合である。M(n)が定数の場合はいわゆるホイヘンスの原理で結晶が成長する。一方、結晶成長形にはしばしばファセットと呼ばれる平らな面が現れる。これはMがnによるような異方性を持つ場合、V=M(n)c(c>0定数)に直線部分(平面部分)を持つ自己相似解を持つ場合である。結晶成長学では、cが定数ではなくても、それが定数に近ければファセット面は維持されると考えられているが、数学の枠組みではファセットが崩れず成長するためには、明らかにcは空間方向について定数である必要がある。本年度は、このファセット形式のメカニズムを説明する可能性のある数学解析の理論を2種類確立した。一つはファセットを非強圧的ハミルトン・ヤコビ方程式の解の漸近形のうち、等速で動く部分と理解する方式である。この枠組では曲率の効果を無視している。これについては非強圧的ハミルトン・ヤコビ方程式の高次元での時間無限大での挙動を記述する数学理論を構築することに成功した。粘性解理論の新たな発展に寄与した。もう一つは特異な曲率流方程式によるとらえ方である。こちらは問題の定式化自体がなかなか難しいが、粘性解の理論および自由境界価問題の手法を拡張することにより、いくつかの具体的なファセット分裂を起こす解を構成することに成功した。また、比較原理が十分一般的な設定で成立することも示した。
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