| 研究課題/領域番号 |
20H00112
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| 研究種目 |
基盤研究(A)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
中区分11:代数学、幾何学およびその関連分野
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| 研究機関 | 名古屋大学 |
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研究代表者 |
金銅 誠之 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 名誉教授 (50186847)
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| 研究分担者 |
島田 伊知朗 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 教授 (10235616)
尾高 悠志 京都大学, 理学研究科, 准教授 (30700356)
松本 雄也 東京理科大学, 創域理工学部数理科学科, 講師 (50773628)
馬 昭平 東京工業大学, 理学院, 准教授 (80633255)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
34,060千円 (直接経費: 26,200千円、間接経費: 7,860千円)
2024年度: 7,020千円 (直接経費: 5,400千円、間接経費: 1,620千円)
2023年度: 7,020千円 (直接経費: 5,400千円、間接経費: 1,620千円)
2022年度: 7,020千円 (直接経費: 5,400千円、間接経費: 1,620千円)
2021年度: 7,020千円 (直接経費: 5,400千円、間接経費: 1,620千円)
2020年度: 5,980千円 (直接経費: 4,600千円、間接経費: 1,380千円)
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| キーワード | K3曲面 / Enriques曲面 / モジュライ空間 / 保型形式 / 自己同型群 / Kummer曲面 / コンパクト化 / 有界対称領域 / エンリケス曲面 / 格子理論 / モジュラー形式 / 格子 / 特異点 / Coble曲面 / 自己同型 / モジュライ / 小平次元 / 商特異点 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
2017年に8次元および24次元の球充填問題が解決されたことは記憶に新しい。定値の格子の一つであるLeech格子が24次元の解を与えている。この問題は3次元以下を除けば未解決であったことを考えれば、24次元の世界が特に興味深いと考えられる。一方、K3曲面のオイラー数は24であり、全コホモロジー群は符号が (4,20) の不定値の24次元格子である。不思議なことにK3曲面の幾何学と定値の24次元格子とは相性が良いことが分かってきた。K3曲面やその商であるエンリケス曲面の幾何学と24次元格子が深く関係していると考えられる。この観点を取り入れ、総合的にK3曲面、エンリケス曲面の研究を進める。
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| 研究実績の概要 |
研究代表者は桂利行氏との共同研究で19世紀にF.Kleinが提示した Quadratic Line Complex とKummer曲面の関係を標数2の場合に拡張した。標数2の2次形式の特殊性と標数2の種数2の代数曲線の特殊性を関連づけるものである。またDolgachev氏とここ数年取り組んでいる著書「Enriques surfaces vol.2」の執筆もほぼ完成し、最終段階を迎えている。分担者の尾高は２次Enriques曲面のモジュライのコンパクト化について精密な理解を進め、また後藤慶太氏とアーベル多様体の有限商の場合に極大退化の特殊ラグランジアンファイブレーションの存在を確認してその非アルキメデス類似が直接的に連結するという新現象を確認した。分担者の馬は直交型ベクトル値モジュラー形式の基礎理論を構築し、特に２つのタイプの消滅定理を証明した。またK3曲面の高次チャウサイクルの族からそのようなモジュラー形式が得られることを見出した。さらにK3曲面の普遍族上の微分形式の分類にも応用した。分担者の島田はK3曲面の自己同型に関する幾つかのプログラムを書き、応用として6個のカスプをもつ6次曲線で分岐する射影平面の2重被覆として得られるK3曲面の自己同型群の生成元を明示的に与えた。分担者の松本は標数2で超特異なK3曲面の場合に、Kummer曲面の類似を見出した。また標数p≠2の場合には、Kummer曲面が良い還元をもつこととそのガロア表現がよい性質をもつことが同値であることが知られており、証明は対応するアーベル曲面の良い還元を経由するものだった。p=2の場合にも同様の結果が成り立つことを証明し、論文を投稿した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
正標数のK3曲面の研究、K3曲面の自己同型の研究、K3曲面のモジュライ空間の研究で、研究代表者および各分担者全員が着実に研究成果を挙げている。特に、標数2のKummer曲面の新たな進展、K3曲面の従来では捉えられなかった自己同型群の計算に成功したこと、モジュライ空間のコンパクト化やIV型有界対称領域上の保型形式の理解が深まった点は大きな成果である。
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでの成果をさらに深める。特に標数2を含めたKummer曲面の特徴づけ，保型形式の代数幾何への応用を行うが、今年度は新たにK3曲面の高次元化の方向性も模索する。研究代表者はBologna大学での集中講義やイタリアでの国際研究集会に参加予定であり、これら国際交流を通じて研究の幅をさらに広げる予定である。特にBologna大学にはK3曲面の高次元化で成果をあげているMongardi教授が居るので、彼との研究連絡を契機と考えている。
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