| 研究課題/領域番号 |
20H00114
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| 研究種目 |
基盤研究(A)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
中区分11:代数学、幾何学およびその関連分野
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
藤原 耕二 京都大学, 理学研究科, 教授 (60229078)
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| 研究分担者 |
小沢 登高 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (60323466)
塩谷 隆 東北大学, 理学研究科, 教授 (90235507)
山下 靖 中央大学, 理工学部, 教授 (70239987)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
43,160千円 (直接経費: 33,200千円、間接経費: 9,960千円)
2024年度: 8,710千円 (直接経費: 6,700千円、間接経費: 2,010千円)
2023年度: 8,580千円 (直接経費: 6,600千円、間接経費: 1,980千円)
2022年度: 8,450千円 (直接経費: 6,500千円、間接経費: 1,950千円)
2021年度: 8,580千円 (直接経費: 6,600千円、間接経費: 1,980千円)
2020年度: 8,840千円 (直接経費: 6,800千円、間接経費: 2,040千円)
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| キーワード | 幾何学的群論 / 作用素環論 / リーマン幾何 / 距離幾何 / 双曲群 / 作用素環 / 増大度 / 相対双曲群 / ファレル・ジョーンズ予想 / 写像類群 / アレクサンドロフ空間 / 漸近次元 / 双曲幾何 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
幾何学的群論は１９８０年代にグロモフが双曲群の理論を創出したことに始まり、新たな研究分野として確立し多くの成果を生んできた。顕著な成果として、Selaによる自由群のロジックについてのTarski予想の解決、Agol-Wiseによる、３次元双曲多様体に関するバーチャルHaken予想をふくむいくつかの予想の解決などがある。
代表者は、Bestvina-Brombergとの共同研究で、擬ツリーへの群作用の構成について公理的な手法を発見した。これを基に、幾何学的群論のあらたな指導原理となるような理論と手法を確立し、重要な未解決問題を解決するのが本研究の目的である。
課題の一つとして、有限生成群の指数増大度に取り組む。
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| 研究実績の概要 |
有限生成群の増大度は古くから研究されている重要な研究課題である。リーマン多様体の基本群の増大度は、その曲率と深い関係があり、負曲率多様体においては基本群は指数増大度を持つことがミルナーによって示されている。双曲群については、指数増大度を持つことが知られている。
有限生成群Gについて、そのすべての有限生成元集合Sに関する増大度のなす集合を、Gの増大度集合とよび、X（G）と表す。本課題では、X（G）についての基本的な理論を構築することを１つの大きな研究目標とする。これは、幾何学的群論の研究において新たな視点を提供する重要な研究であると位置づけられる。
代表者はSelaとの共同研究において、Gが非初等的な双曲群であるとき、X（G）が整列集合であることを示した。証明には、Limit groupの理論を援用した。この研究は重要な研究成果として国際的に評価されている。この研究について、いくつかの国際研究集会で講演した。
また、この研究をより広い範囲の群に拡張することを目指している。本年度は、相対双曲群や３次元多様体の基本群について、X（G）の整列性を示し、それを論文としてまとめプレプリントとして発表している。また、いくつかの国際研究集会において発表した。
ファレル・ジョーンズ予想はトポロジー・離散群における重要の未解決予想の一つである。これの重要なケースについて、Bestvinaらとの共同研究において、予想を肯定的に解決した。その論文は専門誌に出版された。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
有限生成群の増大度全体がなす集合の整列性について、いくつかの重要なケースで顕著な結果を得たので。また、いくつかの国際研究集会で招待講演をしたので。
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| 今後の研究の推進方策 |
有限生成群の増大度集合の整列性の研究を発展させる。特に、個別の群でなく、ある性質を満たす群の族について、増大度集合の整列性の研究を行う。
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