| 研究課題/領域番号 |
20H00119
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| 研究種目 |
基盤研究(A)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
中区分12:解析学、応用数学およびその関連分野
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
平岡 裕章 京都大学, 高等研究院, 教授 (10432709)
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| 研究分担者 |
池田 岳 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (40309539)
赤木 和人 東北大学, 材料科学高等研究所, 准教授 (50313119)
白井 朋之 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (70302932)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
44,850千円 (直接経費: 34,500千円、間接経費: 10,350千円)
2023年度: 10,920千円 (直接経費: 8,400千円、間接経費: 2,520千円)
2022年度: 10,920千円 (直接経費: 8,400千円、間接経費: 2,520千円)
2021年度: 10,920千円 (直接経費: 8,400千円、間接経費: 2,520千円)
2020年度: 12,090千円 (直接経費: 9,300千円、間接経費: 2,790千円)
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| キーワード | パーシステントホモロジー / ランダムトポロジー / 確率論 / シューベルト計算 / マルチパラメータ・パーシステントホモロジー / 非区間表現 / シューベルトカリキュラス / マルチパラメータ・パーシステンス / ランダム化 / 材料科学 / 大数の法則 / 大偏差原理 / 両側シューベルト分解 / シューベルト・カルキュラス |
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| 研究開始時の研究の概要 |
マルチパラメータ・パーシステントホモロジーの実用的な分解論を構築することを目標に据えた以下の研究テーマを実施する:(1)パーシステントホモロジーの確率論的安定分解構造の決定，(2)パーシステントホモロジーのシューベルト計算と安定構造の解明，(3)アモルファス炭素材料の階層構造解析.
パーシステントホモロジーの直既約成分に対する確率論的性質を研究し，代数的な分解論を確率論の視点から捉え直す．またシューベルト計算をパーシステントホモロジーに導入し，安定分解構造とシューベルト多様体の交叉理論の関係を調べる．これらの数学的成果をアモルファス炭素材料の解析に適用し，結晶性中距離秩序構造の特徴づけを行う.
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| 研究成果の概要 |
本課題ではマルチパラメータ型パーシステント・ホモロジーの数学的構造を理解するために確率論および組合せ論を用いた研究を実施した。応用研究としてはそこで開発された手法を材料科学の構造解析に適用する研究を行った。データに含まれるランダム性に着目し、確率論的な設定のもとで安定な構造分解を抽出する方針で成果を挙げた。まず組合せ論的な成果としてはパーシステント図とシューベルト多様体の関係を解明し、パーシステント図に自然な積構造が導入できることを明らかにした。また区間近似を一般化することにも成功し、非区間表現の出現頻度に関する期待値の評価を得ることもできた。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
ビッグデータ時代の到来を受け、膨大かつ複雑なデータに対する数学的なデータ記述子を開発する必要性が高まっている。この背景の元、本研究ではデータの「かたち」と「うごき」に着目するパーシステントホモロジーの数学研究に主に取り組んだ。特にこのプロジェクトではデータを詳細に調べるパラメータが2つ以上の問題を扱っている。観測データにはノイズがのっていることを想定し、適切な確率論的状況のもとで新規データ記述子を開発することに成功した。
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