| 研究課題/領域番号 |
20H00119
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| 研究種目 |
基盤研究(A)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
中区分12:解析学、応用数学およびその関連分野
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
平岡 裕章 京都大学, 高等研究院, 教授 (10432709)
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| 研究分担者 |
池田 岳 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (40309539)
赤木 和人 東北大学, 材料科学高等研究所, 准教授 (50313119)
白井 朋之 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (70302932)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
44,850千円 (直接経費: 34,500千円、間接経費: 10,350千円)
2023年度: 10,920千円 (直接経費: 8,400千円、間接経費: 2,520千円)
2022年度: 10,920千円 (直接経費: 8,400千円、間接経費: 2,520千円)
2021年度: 10,920千円 (直接経費: 8,400千円、間接経費: 2,520千円)
2020年度: 12,090千円 (直接経費: 9,300千円、間接経費: 2,790千円)
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| キーワード | マルチパラメータ・パーシステントホモロジー / 非区間表現 / シューベルト計算 / ランダムトポロジー / パーシステントホモロジー / シューベルトカリキュラス / マルチパラメータ・パーシステンス / ランダム化 / 材料科学 / 大数の法則 / 大偏差原理 / 両側シューベルト分解 / シューベルト・カルキュラス |
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| 研究開始時の研究の概要 |
マルチパラメータ・パーシステントホモロジーの実用的な分解論を構築することを目標に据えた以下の研究テーマを実施する:(1)パーシステントホモロジーの確率論的安定分解構造の決定，(2)パーシステントホモロジーのシューベルト計算と安定構造の解明，(3)アモルファス炭素材料の階層構造解析.
パーシステントホモロジーの直既約成分に対する確率論的性質を研究し，代数的な分解論を確率論の視点から捉え直す．またシューベルト計算をパーシステントホモロジーに導入し，安定分解構造とシューベルト多様体の交叉理論の関係を調べる．これらの数学的成果をアモルファス炭素材料の解析に適用し，結晶性中距離秩序構造の特徴づけを行う.
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| 研究実績の概要 |
最終年度ではマルチパラメータ・パーシステントホモロジーの確率論的構造定理の構築に本格的に取り組んだ。まず昨年度までに開発を進めてきた「コース」と「ツアー」の概念を用いた新たな区間近似理論を計算機に実装し、大規模な数値計算ができる環境を整備することに成功した。我々が開発した区間近似アルゴリズムは表現を経由せずに点過程などから定まる幾何学的なモデルから直接計算できる利点を有する。これによって比較的大規模な点過程データに対しても統計的特徴が確認ができるレベルの大規模数値計算が実施できた。数値計算の結果としては、当初の想定通り、非区間表現の出現頻度は区間表現よりも圧倒的に少なくなる現象が観測された。また今回の大規模数値計算によりサンプル期待値の統計的な近似値も得られた。
上記の大規模数値実験ののちに、積分幾何のアイディアを用いた非区間表現の重複度に対する期待値の評価解析を行った。その際重要になってくる現象は、サイクルスプリットと呼ばれるより大きなサイクルが小さな２つのサイクルに分裂する事象である。これにより可換はしご型クイバーのある頂点上で2次元のベクトル空間が直既約表現に出現できることになる。このサイクルスプリットをCech複体を用いた点群モデルによる幾何学的実現で構成し、その出現期待値を実現可能な配位空間で積分することに取り組んだ。Subcritical regime点過程に現れるような「minimal model」の概念が存在するかどうかを調べたが、現時点では理論的には解明できていない。最小のminimal modelは4点から非区間表現が構成されることがわかるが、数値計算からの考察ではそれらが分布として最も大きい値をとるとは限らないようである。現状では4点からなるモデルに対して、非区間表現の重複度に対する期待値の評価を与えるところまで完成した。
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| 現在までの達成度 (段落) |
令和5年度が最終年度であるため、記入しない。
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| 今後の研究の推進方策 |
令和5年度が最終年度であるため、記入しない。
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