研究課題
特別研究員奨励費
研究目標は、調和解析学における幾何学的概念、特に曲率の果たす役割を明らかにすること、さらに幾何学的により普遍的な形で調和解析学の諸問題を捉え直すことである。そのために、調和解析学における未解決問題、特にフーリエ制限予想と溝畑・竹内予想を研究の中心に据え、X線トモグラフィーという工学的アイデアを応用する形で研究を進める。特にこの溝畑・竹内予想の解決を目指す。ここで提案するX線トモグラフィーの手法は、低次元部分空間で振動を正確に捉え、それをかき集めることで全体の振動もコントロールするという、新たな手法である。この手法の純粋数学の文脈における適用範囲を明らかにし、その有効性を確立することを目指す。
今年度は，熱方程式あるいはより一般に拡散方程式の平滑化効果がどのように種々の関数不等式を改良するかを明らかにする研究を行なった．特にBarthe-Wolffによって証明されたInverse Brascamp-Lieb不等式を，熱流単調性の手法を用いることによって正則化した形で証明することに成功した．通常の熱流単調性の手法を用いる際には，一般のBrascamp-Liebデータをlocaling Brascamp-Liebデータで近似することにより問題を簡略化する．ところが，本研究でInverse Brascamp-Lieb不等式を解析する際には，このlocalising Brascamp-Liebデータによる近似ができないという問題点があった．この問題点に対し，我々はamplifying Brascampl-Liebデータという概念を見出し，このamplifying Brascampl-Liebデータによる近似手法を用いることで，問題を解決した．また，その結果Youngの不等式，Prekopa-Leindlerの不等式，Ornstein-Uhlenbeck半群のhypercontractivity不等式をそれぞれ正則化した形で得るに至った．ついで，この関連から対数型ソボレフ不等式を拡散方程式により正則化することに成功した．これら一連の結果により，上述の「拡散方程式の平滑化効果により関数不等式を改良する」というアイデアを幾何学的な定式化のもとへ一般化する研究の手がかりを得た．
翌年度、交付申請を辞退するため、記入しない。
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すべて 雑誌論文 (2件) (うち国際共著 2件、 査読あり 2件、 オープンアクセス 1件) 学会発表 (3件) (うち国際学会 2件、 招待講演 3件)
Forum of Mathematics, Sigma
巻: 9 ページ: 1-52
10.1017/fms.2020.64
Selecta Mathematica
巻: 26 号: 4 ページ: 26-52
10.1007/s00029-020-00582-6
