| 研究課題/領域番号 |
20J00147
|
|---|
| 研究種目 |
特別研究員奨励費
|
| 配分区分 | 補助金 |
|---|
| 応募区分 | 国内 |
|---|
| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
|
|---|
| 研究機関 | 大阪大学 |
|---|
研究代表者 |
数川 大輔 大阪大学, 理学研究科, 特別研究員(PD)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2020-04-24 – 2023-03-31
|
| 研究課題ステータス |
採択後辞退 (2022年度)
|
| 配分額 *注記 |
4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)
2022年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2021年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2020年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
|
|---|
| キーワード | 測度距離空間 / 集中位相 / 測度の集中現象 / ピラミッド / 無限次元空間 / ボックス位相 / リプシッツ順序 / 消散現象 / 距離変換 / 対数ソボレフ不等式 |
|---|
| 研究開始時の研究の概要 |
本研究では，リーマン多様体や測度距離空間といった空間の列が与えられた時に，その空間列の収束性や各空間の上に定義される不変量の連続性について研究する．特に，測度距離空間の収束概念として，測度の集中現象を基にした測度距離空間の集中と呼ばれる収束に興味があり，測度距離空間の上の不変量としてはリッチ曲率の下限やラプラシアンのスペクトルなどに興味がある．また集中現象の逆現象として，測度が散り散りに別れてしまう消散現象という現象の存在が知られている．本研究ではGromov双曲空間という枠組みで消散現象がいつ起こるのかという問いに対する体系的な理論を構築する．
|
| 研究実績の概要 |
測度距離空間およびその拡張概念であるピラミッドに関して，以下の3つの研究を行った．
1つ目の研究では，東北大学の横田氏と共同で，昨年度に引き続き，測度距離空間族における位相的有界性と順序的有界性の同値性について調査を行った．この同値性に関する昨年度中に得られた結果がある意味で局所的にも成り立つだろうと予想し，その証明を目標として更なる研究を行った．元の結果を局所的にするという発想は斬新で，実際に証明ができれば本研究が従来とはまた異なる意義を持つことになる．証明はほとんどできており，論文を準備中である．
2つ目の研究では，東北大学の塩谷氏・中島氏と共同で，測度距離空間全体の上に定まるボックス位相・集中位相およびピラミッド全体の上に定まる弱位相について，これら3つの空間の位相的性質を調査した．従来，位相的性質はコンパクト性，可分性，(適切な距離関数の)完備性の有無が知られていたが，本研究では局所コンパクト性，σコンパクト性，Baire性，(大域)可縮性，局所連結性などの有無を明らかにすることに成功した．現在，その他の性質も調査中である．
3つ目の研究では，福岡大学の三石氏・江崎氏と共同で，2つのピラミッドがいつ異なると言えるかという問題に対して不変量を用いたアプローチを行った．実際に我々はピラミッドの重要な具体例である無限次元ガウス空間と無限次元立方体が互いに相似でないことを不変量を用いて証明した．また我々は集中現象の逆現象である消散現象の観点から“部分消散”という概念を新たに与え，それに対応するピラミッドを構成し，それらが互いに異なることを証明した．これにより測度距離空間に対応しないピラミッド全体の次元が無限次元であることが得られた．本研究に関する論文も現在執筆中である．
|
| 現在までの達成度 (段落) |
翌年度、交付申請を辞退するため、記入しない。
|
| 今後の研究の推進方策 |
翌年度、交付申請を辞退するため、記入しない。
|
