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半線形楕円型方程式の定性解析-安定性が導く新潮流-

研究課題

研究課題/領域番号 20J01191
研究種目

特別研究員奨励費

配分区分補助金
応募区分国内
審査区分 小区分12020:数理解析学関連
研究機関早稲田大学

研究代表者

長谷川 翔一  早稲田大学, 理工学術院, 特別研究員(PD)

研究期間 (年度) 2020-04-24 – 2023-03-31
研究課題ステータス 完了 (2022年度)
配分額 *注記
4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)
2022年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2021年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2020年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
キーワード動径対称解 / 層構造 / 非コンパクトなリーマン多様体 / 交差 / 安定性 / Joseph-Lundgren 指数 / 分数冪
研究開始時の研究の概要

半線形楕円型方程式の解の主な定性的性質としては、解の正値性や遠方での漸近挙動、動径対称解の層構造等が挙げられる。しかし、上記の解の定性的性質に関しては、方程式の非線形項によっては、既存の主要な解析手法が適用できず、より精密な解析を行えない場合がある。一方で、近年解の定性的性質として安定性が定義され、その研究が盛んに行われつつある。本研究は、解の安定性と他の定性的性質の関係を明らかにし、解の安定性を用いて, 関連する定性的性質を導出することを目的としている。

研究実績の概要

本研究課題は, 一般の半線形楕円型方程式に対し, 解の安定性を用いて, 関連する定性的性質を導出することを目的としている. 研究課題一・二年目では, 冪乗型の非線形項を有する具体的に設定した半線形楕円型方程式を対象に, 解の安定性・不安定性に関して解析を行った. 研究課題の最終年度となる本年度では, これまでの研究で得られた結果の一般化として, より非線形項を一般化した方程式を対象に, 解の安定性や関連する性質に関する研究を行った. 具体的には, 非コンパクトなリーマン多様体を対象に次の二点を扱った.
1. 指数関数的な非線形項をもつ半線形楕円型方程式の動径対称解の安定性と層構造
2. より一般の非線形項をもつ半線形楕円型方程式の特異解の存在と漸近挙動
以下では, 特に1の研究の内容について説明する.
1について, 非コンパクトなリーマン多様体を対象とした先行研究では, Lane-Emden方程式やHenon方程式などの冪乗型の非線形項をもつ半線形楕円型方程式に関する解析が多かった. 一方で, 指数関数的な非線形項をもつ半線形楕円型方程式に対しては, ユークリッド空間の場合と比較して, 非コンパクトなリーマン多様体上ではほとんど研究がなされていない. 本研究では, 非コンパクトなリーマン多様体上の指数関数的な非線形項をもつ半線形楕円型方程式に対し, 研究課題一・二年目で得られた手法を応用して, 主に動径対称解の層構造に関する研究を行い, 部分的な結果を得ることに成功した. 具体的には, 次元が10次元以上では動径対称解は層構造をなしており, また次元が十分小さい場合でも部分的な層構造が成立しているという結果を得られた. 次元が9以下の場合に関しては, 層構造に関して完全な結果を得られていないため, 今後も研究を続けていく予定である.

現在までの達成度 (段落)

令和4年度が最終年度であるため、記入しない。

今後の研究の推進方策

令和4年度が最終年度であるため、記入しない。

報告書

(3件)
  • 2022 実績報告書
  • 2021 実績報告書
  • 2020 実績報告書
  • 研究成果

    (8件)

すべて 2023 2022 2021 2020

すべて 雑誌論文 (3件) (うち査読あり 2件) 学会発表 (5件) (うち国際学会 1件、 招待講演 3件)

  • [雑誌論文] 非コンパクトなリーマン多様体上における Lane-Emden 方程式の動径対称解の族がなす層構造2023

    • 著者名/発表者名
      長谷川 翔一
    • 雑誌名

      数理解析研究所講究録「常微分方程式の定性的理論とその現象解析への応用」

      巻: 2244 ページ: 1-10

    • 関連する報告書
      2022 実績報告書
  • [雑誌論文] Separation phenomena of radial solutions to the Lane-Emden equation on non-compact Riemannian manifolds2022

    • 著者名/発表者名
      Hasegawa Shoichi
    • 雑誌名

      Journal of Mathematical Analysis and Applications

      巻: 510 号: 2 ページ: 126028-126028

    • DOI

      10.1016/j.jmaa.2022.126028

    • 関連する報告書
      2021 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] On weak solutions to a fractional Hardy?H?non equation: Part I: Nonexistence2021

    • 著者名/発表者名
      Hasegawa Shoichi、Ikoma Norihisa、Kawakami Tatsuki
    • 雑誌名

      Communications on Pure & Applied Analysis

      巻: 0 号: 4 ページ: 1559-1600

    • DOI

      10.3934/cpaa.2021033

    • 関連する報告書
      2021 実績報告書 2020 実績報告書
    • 査読あり
  • [学会発表] Separation structure of radial solutions to the Lane-Emden equation on non-compact Riemannian manifolds2022

    • 著者名/発表者名
      長谷川 翔一
    • 学会等名
      Summer School on Variational Problems and Functional Inequalities
    • 関連する報告書
      2022 実績報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Separation structure of radial solutions to semilinear elliptic equations on non-compact Riemannian manifolds2022

    • 著者名/発表者名
      長谷川 翔一
    • 学会等名
      常微分方程式の定性的理論とその現象解析への応用
    • 関連する報告書
      2022 実績報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Separation property of radial solutions to semilinear elliptic equations on non-compact Riemannian manifolds2022

    • 著者名/発表者名
      長谷川翔一
    • 学会等名
      第16回 非線形偏微分方程式と変分問題
    • 関連する報告書
      2021 実績報告書
  • [学会発表] 双曲空間上の Lane-Emden 方程式の動径対称解の族がなす層構造について2021

    • 著者名/発表者名
      長谷川翔一
    • 学会等名
      東北大学応用数理解析セミナー
    • 関連する報告書
      2021 実績報告書
  • [学会発表] Separation phenomena of radial solutions to Lane-Emden equation on the hyperbolic space2020

    • 著者名/発表者名
      長谷川 翔一
    • 学会等名
      楕円型・放物型方程式の集いの会
    • 関連する報告書
      2020 実績報告書
    • 招待講演

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公開日: 2020-07-07   更新日: 2024-03-26  

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