| 研究課題/領域番号 |
20J01431
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| 研究種目 |
特別研究員奨励費
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 国内 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 学習院大学 |
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研究代表者 |
片山 拓弥 学習院大学, 理学部, 特別研究員(PD)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-24 – 2023-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
3,120千円 (直接経費: 2,400千円、間接経費: 720千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2020年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 曲面の写像類群 / バーチャル埋め込み / Masur--Minsky理論 / 有限指数部分群 / 単射準同型 / 直角アルティン群 / 擬等長埋め込み |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究は，曲面の被覆および埋め込みという位相的操作と，写像類群のバーチャル埋め込みという代数的操作の間の関係を解き明かすことを目指している．ここで群のバーチャル埋め込みとは，その群の指数有限部分群から出る単射準同型のことである．写像類群の間のバーチャル埋め込みは本質的には上に述べた曲面の位相的操作から誘導される，ということを採用者は予想している．本研究では，直角アルティン群と呼ばれる，曲面上の本質的閉曲線の集合から自然に得られる群を用いることにより，曲面の位相的操作と写像類群の代数的操作を橋渡しするこの予想を解き明かしていく．
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は曲面の写像類群の間のバーチャル埋め込みおよび擬等長埋め込みと曲面の位相幾何学との関係を明らかにすることである。
トーラスの写像類群の球面の写像類群へのバーチャル埋め込みの考察を曲面のパンツ分解や曲線系を用いて行った。特殊ではあるが非自明な例でトーラスの写像類群から球面の写像類群へのバーチャルな埋め込みが存在しないことを確認した。しかし例の一般化を試みたが叶わず、2021年度の進捗状況から有意義な進展があったとは言い難い。
また、ブレイド群の勝手なバーチャル埋め込みが既知のバーチャル埋め込みの合成から誘導されるかという問題を曲面上の曲線族を用いて考察し、特殊な例では誘導されることを確認した。一般化のためには部分曲面の擬アノソフ写像と呼ばれる写像類がブレイド群の生成元の冪の像としてあり得るか、という問題を解く必要があったが、この問題を年度内に解決できず、残念ながら一般的な結果を得ることができなかった。問題をより精緻に捉えることができたと言う意味では進展があった。
さらに、写像類群の間に擬等長埋め込みが存在するか否かを考察するため、部分群である直角アルティン群の写像類群への擬等長埋め込みを研究した。直角アルティン群のマーキング複体への作用を主に取り扱ったが、既存の研究を超える成果は得られなかった。ただし副産物としてMasur--Minskyの理論の一部、特にbounded geodesic image theoremの一部を向き付け不可能曲面について一般化することができた。
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| 現在までの達成度 (段落) |
令和4年度が最終年度であるため、記入しない。
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| 今後の研究の推進方策 |
令和4年度が最終年度であるため、記入しない。
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