| 研究課題/領域番号 |
20J01865
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| 研究種目 |
特別研究員奨励費
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 国内 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
中村 力 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(PD)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-24 – 2023-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2021年度)
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| 配分額 *注記 |
4,810千円 (直接経費: 3,700千円、間接経費: 1,110千円)
2021年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
2020年度: 1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
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| キーワード | Gorenstein射影加群 / Gorenstein整環 / 安定圏 / コンパクト生成三角圏 / Zieglerスペクトラム / Cohen-Macaulay加群 / Cohen-Macaulay近似 / ネーター多元環 / 平坦余ねじれ加群 / 導来圏 / 傾理論 / アデール |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究では、有限次元多元環上の純移入加群を用いた無限生成表現の類似理論を、安定圏のZieglerスペクトラムを用いてコーエン・マコーレー環上で実現し、特異点の研究に役立てることを一つの目標としている。この取り組みでは、導来圏におけるコサポートの概念が重要な道具となるが、サポートに比べて未知な部分の多い不変量であるため、コサポートの性質を明らかにしながら関連する未解決問題を解くことをもう一つの目標としている。加えて、コサポートの見地から観察される完備化や局所化に関する興味深い現象に対して、幅広い代数系で解釈可能な定式化を、テンソル三角圏のBalmerスペクトラムを介して与えることを目指している。
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| 研究実績の概要 |
今年度の成果の一つは、完備Gorenstein局所環上のGorenstein整環とそのGorenstein射影加群に対して、Auslander-Ringel-太刀川型の結果を与えたことである。特に、完備Gorenstein整環が有限Cohen-Macaulay表現型を持つことと、Gorenstein射影加群の安定圏の全ての直既約純移入的対象がコンパクトであることが同値になることを示した。証明にはコンパクト生成三角圏のZieglerスペクトラムの理論を用いており、鍵となる結果の一つは準備中の論文の付録を執筆しているRosanna Laking氏によるものである。
上の内容と関連して取り組んだ別の研究でも幾つかの成果が得られた。まず、CM(=Cohen-Macaulay)環上の極大CM加群および正準加群の無限生成版と考えられる「large CM加群」と「large正準加群」という概念を導入することで、AuslanderとBuchweitzによる極大CM近似に関する古典的結果を無限生成化することに成功した。その系として、先行するSimonやHolmによる可換CM局所環上のbig CM近似に関する結果を包括する一般化を整環上で与えた。また、正準加群を持つ有限次元CM環上の整環に対して、極大CM加群とlarge CM加群の間にGovolov-Lazard型の定理が成り立つことを示した。さらに、整環が非特異であることやGorensteinであることの特徴づけを、余ねじれ対の観点から与えることに成功した。
以上に加えて、前年度から続く3つの研究に取り組んだ。一つは神田 遼氏との共同研究で、ネーター多元環上の平坦余ねじれ加群の構造定理を与えるものである。この研究の論文はarXivで公開し、学術雑誌へと投稿済みである。二つ目はMichal Hrbek氏とJan Stovicek氏との共同研究であり、可換ネーター環上の非有界導来圏における準傾複体の具体的な構成を与えるものである。この研究の論文は完成間近である。三つ目はネータースキーム上のアデリック複体の明快な構成をアファインの場合に与えるものであり、この研究の論文は執筆中である。
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| 現在までの達成度 (段落) |
翌年度、交付申請を辞退するため、記入しない。
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| 今後の研究の推進方策 |
翌年度、交付申請を辞退するため、記入しない。
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