| 研究課題/領域番号 |
20J10147
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| 研究種目 |
特別研究員奨励費
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 国内 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
中塚 成徳 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 特別研究員(PD)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-24 – 2022-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2021年度)
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| 配分額 *注記 |
1,900千円 (直接経費: 1,900千円)
2021年度: 900千円 (直接経費: 900千円)
2020年度: 1,000千円 (直接経費: 1,000千円)
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| キーワード | スーパーW代数 / Gaiotto-Rapcak双対性 / 半無限コホモロジー関手 / 頂点作用素代数 / 表現論 / 共形場理論 / 高次元の場の理論 / 双対性 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
頂点代数の理論は2次元の量子場の理論の数学的定式化を与える．その準古典極限は古典場の理論とつながり，とくにW代数と呼ばれるクラスでは無限可積分系の数学的枠組みを与えアフィングラスマン多様体の幾何と結びつく．近年高次元の場の理論に頂点代数が現れることが次々と発見されている．高次元の場の理論がもつ双対性はすでに知られているW代数の間の双対性を再構成し一般化の予想を与える．特にこの予想は頂点スーパー代数の表現論への大きな足掛かりを与える．本研究はこの予想の解決することを目標におきながら，その際必要な関連する代数の良い表示，準古典極限における幾何学的解釈，無限可積分系への応用を得ることを目標とする．
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| 研究実績の概要 |
論文面では，昨年度の研究成果として述べたThomas Creutzig, 元良直輝，佐藤僚との共著論文がComm. Math. Phys.から受理された。
研究面では，本年度は，物理学者のGaiotto-Rapcakにより提起されたフック型スーパーW代数の双対性について研究を行った。より詳しくは、すでにCreutzig-Linshawにより証明されたアフィンコセットの間の同型を半無限コホモロジー関手を用いて、片方からもう片方を復元できるかという問題に取り組み、一般的な設定で肯定的な結果を得た。（Thomas Creutzig, Andrew Linshaw, 佐藤僚との共同研究、プレプリントサーバarXivにて発表）これは昨年度取り組んだFeigin-Semikhatov予想の場合を大きく拡張する結果である。またこの復元方法はフック型スーパーW代数の然るべき表現圏の間に完全関手を誘導するため、この関手がFeigin-Semikhatov予想の時と同様に圏同値を導くか、どのような表現のクラスが対応しているかという問題に取り組んだ。その下準備としてＡ型の場合にフック型W代数側の「基本となる」表現の指標がフック型スーパーW代数側ではどのような指標として見えるかという問題に取り組み非常に簡明な公式を特殊関数の展開公式をもとに導いた。（未発表）ここで得た表現のクラスが何であるべきかの理解するためにFeigin-Semikhatov予想の場合に表現のクラスの対応のより詳しい解析を行った。Feigin-Smikhatov予想の場合に関しては、この結果を含む概説論文を執筆した。
一方でスーパーアフィン頂点代数やスーパーW代数の自由場表示の問題への取り組みは諸般の事情により論文執筆が遅れてしまったため、まだ完成していない。
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| 現在までの達成度 (段落) |
令和3年度が最終年度であるため、記入しない。
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| 今後の研究の推進方策 |
令和3年度が最終年度であるため、記入しない。
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