| 研究課題/領域番号 |
20K03508
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 新潟大学 |
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研究代表者 |
張間 忠人 新潟大学, 人文社会科学系, 教授 (30258313)
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| 研究分担者 |
和地 輝仁 北海道教育大学, 教育学部, 教授 (30337018)
五十川 読 熊本高等専門学校, リベラルアーツ系理数グループ, 教授 (80223056)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2020年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 完全交叉環のレフシェッツ性 / ゴレンスタイン環のレフシェッツ性 / 余不変式環のレフシェッツ性 / 中心単純加群 / 高階弱レフシェッツ性 / Primitive Space / Specht polynomial / Hilbert Series / 完全交叉環 / 強レフシェッツ性 / 余不変式環 / シューア・ワイル双対性 / アルティン・ゴレンスタイン環 / Cohomological Blowup 代数 / レフシェッツ性 / 多項式で生成されるアルチンゴレンスタイン次数環 / 概均質ベクトル空間 / Specht ideal / Principal radical system / 代数学 / 可換環論 / 完全交叉 / ジェネリックイニシャルイデアル |
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| 研究開始時の研究の概要 |
完全交叉環のレフシェッツ性問題に関する研究を行う。完全交叉環は強いレフシェッツ性をもつことが予想されている。我々の最終目標は、この予想を肯定的に解決することである。本研究では、まず、対称群の作用で不変な完全交叉環のクラスに注目しそのレフシェッツ性問題について、研究分担者、研究協力者の皆さんと研究を始める。
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| 研究実績の概要 |
研究代表者の張間は、次数が連続するベキ和対称多項式で定義される完全交叉環の中心単純加群の生成系に関する研究を継続した。その結果、変数に関する中心単純加群の生成系を決定することができた。
研究分担者の和地氏は、引き続き複素鏡映群の余不変式環のレフシェッツ性について研究を進め、論文投稿を行った。また、多項式から生成されるアルチンゴレンスタイン環のレフシェッツ性についての研究を進め、2022年12月に、城西大学小木曽氏、統計数理研究所中島氏とのセミナーを釧路で開催し、多項式としてグラフのキルヒホッフ多項式や、概均質ベクトル空間の相対不変式を考えた場合の研究を進めた。
研究分担者の五十川氏は、ジョルダンタイプが分かっている次数付ゴレンスタイン代数のテンソル積のレフシェッツ性を調べるための道具として、重み付ヒルベルト関数を提案し、積公式が成り立つことを確認した。また、中心単純化群については、研究代表者の提案に基づき、ベキ和対称多項式で生成された完全交叉の中心単純加群たち(第１次中心単純加群)の決定および、レフシェッツ性を調べる為のさらなる中心単純加群(第2次中心単純加群)の考察に取り組んだ。
研究協力者の渡辺氏は、完全交叉環のHilbert seriesの階差数列に現れる正整数は、組み合わせ論におけるKostka numberに他ならないことを2022年9月に開催されたCortona の研究会で紹介した。このことから、一般的な一次偏微分作用素による primitive space の重要性が明らかになり、完全交叉環のSLP問題の全面的な解決に近づいている。この一方、Spechtイデアルの被約性とMacaulay性が如何に係数体の標数に係るかは、モノミアル完全交叉環のSLPが如何に標数に係るのか、と基本的に同じであることが判明するなど、意外な成果も得られた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
張間は、n変数の場合について、次数が連続するベキ和対称多項式で定義される完全交叉環の変数による中心単純加群の生成系を決めることはできたが、その中心単純加群たちのレフシェッツ性問題までは解決できていないため「やや遅れている」と判断した。
和地氏は、集会の開催や出張が徐々に平常時に戻りつつあり、研究の進展も徐々に好転してきた。実際、集会への参加やセミナーの開催ができるようにはなってきた。しかし、昨年より好転したものの遅れを取り戻すには至っていないため「やや遅れている」と判断した。
五十川氏は、今年度も、当初はコロナ禍が収まっておらず、遠隔で研究打ち合わせを実施したが、漸く年度末（3月）に遅れて、対面で研究打合せを実施することができた。しかし、得られた結果を論文にまとめることができなかったので、「遅れている」と判断した。
渡辺氏は、一般的な一次偏微分作用素による primitive space の重要性を明らかにするなど、完全交叉環のSLP問題の全面的な解決に近づいているということで、当初の計画以上に進展している。
以上の進捗状況から、全体としては「やや遅れている」と判断した。
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| 今後の研究の推進方策 |
張間は、基本対称式とベキ和対称多項式によって決まった中心単純加群たちのレフシェッツ性問題について考察を続ける。
和地氏は、多項式で生成されるアルチンゴレンスタイン次数環のレフシェッツ性についての研究で一定の成果も出ているので、鏡映群や、リー群・リー代数の表現、概均質ベクトル空間の知見を、より一層活用して論文の形でまとめる。また、研究打合せを通して研究を進展させたり、学会等での発表で成果発表を行ったりする。
五十川氏は、重み付ヒルベルト関数を用いた高階弱レフシェッツ階数の特徴付けに関しては、例を補強して論文とする予定である。また、ベキ和対称多項式で生成された完全交叉の中心単純加群については、対面で研究打ち合わせを実施し、論文としたい。さらに、完全交叉となるマコーレー生成元の特徴についても解析を進めたい。
渡辺氏は、以下の方策を考えている。完全交叉環の族を二つの族に分割する。即ち（１）生成元は全て2次式であるものと（２）生成元の一つは３次式以上であるものの２つの族に分ける。（２）のいずれのメンバーも（１）のメンバーの部分環であることを証明する。（１）のメンバーは、生成元の一つを、一次式の積であるように選ぶことができることを示す。このことにより、証明を変数の帰納法にのせる。一方、2次式完全交叉環と同じHilbert Seriesを持つゴレンスタイン環でSLPを持たないゴレンスタイン環を構成することができ、このようなゴレンスタン環の Primitive Space が、一般元の積写像でどのように変化するかを調べる。
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