| 研究課題/領域番号 |
20K03516
|
|---|
| 研究種目 |
基盤研究(C)
|
| 配分区分 | 基金 |
|---|
| 応募区分 | 一般 |
|---|
| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
|
|---|
| 研究機関 | 佐賀大学 |
|---|
研究代表者 |
市川 尚志 佐賀大学, 理工学部, 客員研究員 (20201923)
|
|---|
| 研究分担者 |
庄田 敏宏 関西大学, システム理工学部, 教授 (10432957)
中村 健太郎 佐賀大学, 理工学部, 教授 (90595993)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
|
| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
|
| 配分額 *注記 |
4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)
2022年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
2021年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2020年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
|
|---|
| キーワード | 代数曲線 / リーマン面 / アーベル微分 / 周期積分 / 非線形可積分系 / ソリトン解 / 多重対数関数 / テイト曲線 / KP階層 / 準周期解 / モジュライ空間 / 保型形式 / タイヒミュラー空間 |
|---|
| 研究開始時の研究の概要 |
テイト曲線の高種数版として（代数）曲線の族を普遍的に表示する高種数テイト曲線と、曲線のモジュライ空間上の保型形式であるタイヒミュラー保型形式についての理論を次のように発展させ、曲線のモジュライ空間上におけるモチーフ層の理論の構成を目指す。
１．高種数テイト曲線上の周期写像を、リーマン面とp進曲線上の周期写像を統合するものとして構成し、巾単周期写像についても同様の拡張を行う。
２．ベクトル値タイヒミュラー保型形式の数論を構成し、不変式論や曲線のモジュライ空間のモチーフ理論との関係を確立する。
|
| 研究実績の概要 |
テイト曲線とは、有理整数を係数にもつ巾級数環上で定義された楕円曲線の族であり、数論幾何のさまざまな分野で応用されている。研究代表者はこれまでの研究において、テイト曲線の高種数化である「高種数テイト曲線」を構成し、その座標環上での展開を用いて、タイヒミュラー空間上の保型形式「タイヒミュラー保型形式」の理論を構成していた。本研究においては、高種数テイト曲線の周期積分とタイヒミュラー保型形式の理論を、互いに関連づけながら発展させ、物理学や工学への応用も含む次の成果を得た。
１．高種数テイト曲線上のアーベル微分・積分として「普遍アーベル微分・積分」の明示公式を導き、その応用として、今までリーマン面の退化族に対し解析的な方法によって得られていたアーベル微分・積分の漸近公式を、数論幾何的な方法を用いることによりマンフォード曲線も対象に含んだ形で拡張した。ソリトン解を持つ非線形可積分系の代表例であるKP階層や戸田格子階層の準周期解は、タイヒミュラー保型形式の重要な例を与えるが、上記の漸近公式を用いてこの準周期解の変動を研究し、準周期解とソリトン解の混合物として表されるKP・戸田格子階層の解の一般的な表示を得た。特にトロピカル曲線から定まるテータ関数のトロピカル化を準周期解の極限として表すことにより、ソリトン解の非常に広いクラスを構成した。
２．与えられた種数を持つ任意のマンフォード曲線とショットキー一意化されたリーマン面を導く「普遍マンフォード曲線」を、すべての退化データに対応する高種数テイト曲線を糊付けすることによって構成し、その応用として、アーベル積分の非可換化である普遍マンフォード曲線上の巾単周期の理論を構成した。さらにその漸近的な明示公式を多重対数関数や多重ゼータ値を用いて与え、理論物理学におけるファインマン積分の計算への展望を与えた。
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
非線形可積分系のソリトン解についての一般的な明示公式を導き、この分野における国内外の研究者から高い評価を得た。
|
| 今後の研究の推進方策 |
本研究で得られた非線形可積分系のソリトン解のクラスが、どの程度一般的なソリトン解を与えるか？という問題を考察し、併せて巾単周期理論の応用についても研究を進めたい。
|
