| 研究課題/領域番号 |
20K03523
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 大阪工業大学 |
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研究代表者 |
鎌野 健 大阪工業大学, ロボティクス&デザイン工学部, 准教授 (50409611)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
2,860千円 (直接経費: 2,200千円、間接経費: 660千円)
2023年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2022年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2021年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2020年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
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| キーワード | 多重ゼータ値 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
多重ゼータ値とは，ある無限級数で定義される実数値であり，積分による表示も同時に持つことから興味深い代数的構造がある対象物である．本研究では，多重ゼータ値の積分表示を拡張した新しい積分（山本積分）で表される広いクラスの多重ゼータ値に着目し，それらの関係式を統一的に見られる一般的な理論を作る．また，それら広いクラスの多重ゼータ値を古典的な多重ゼータ値で表すことにより，古典的な多重ゼータ値の新しい関係式を求める．これらの研究における手法は，積分の変数変換など解析的な手法を用いる．
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| 研究実績の概要 |
多重ゼータ値の変種の１つとして，近年通常の多重ゼータ値とlevel 2の多重ゼータ値を補間するような対象が考案されている．その類似を考えることにより，研究代表者は通常の多重ベルヌーイ数とlevel 2の多重ベルヌーイ数の補間を導入した．前年度(2021年度)の研究の中で，これらがある種の多項式で表現できること，既存のものと似た漸化式を満たすこと，母関数の性質がこれらを特徴づけること，などを証明した．また対応するArakawa-Kanekoゼータ関数についても期待される性質が満たされることも確認した．今年度(2022年度)はこの新しいベルヌーイ数について引き続き研究を進展させ，本結果の内容が学術雑誌Commentarii Mathematici Universitatis Sancti Pauliに掲載されることが決定した．
この研究に現れる多重対数関数の類似物は，非常に自然な定義であるものの，そのままではランデンの接続公式のような綺麗な関係式がない．そこで，まずランデンの接続公式が成り立つ理由を明確にすることからはじめ，適当な1次分数変換が本質的に効いていることを確認した．そして接続公式が成り立つ広いクラスの多重対数関数を導入し，その関数の性質について詳しく調べた．接続公式の他にある仮定をすると，対応するベルヌーイ数は双対関係式が成り立つことを証明した．これは知られているベルヌーイ数の間の関係式の拡張となっている．ただし，まだ多重対数関数自体が既存の理論の綺麗な拡張とは言えず，今後さらに研究を進めていく必要がある．なお，この多重対数関数は，t多重ゼータ値（通常の多重ゼータ値と等号つき多重ゼータ値を補間したもの）を含んでおり，実施を予定していた研究に付随するものと考えている．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
前年度(2021年度)から行なっている通常の多重ベルヌーイ数とlevel 2の多重ベルヌーイ数の補間に関しては，論文誌掲載が決定したことにより一つの区切りとなった．本年度(2022年度)に研究を行なった多重対数関数数とそれに付随する多重ベルヌーイ数について，ランデンの接続公式や双対関係式など，既存の関係式を拡張する興味深い性質が複数証明できている．しかし，まだ全貌が明らかになっていないため，さらに詳しく調べている最中である．
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| 今後の研究の推進方策 |
本年度(2022年度)に研究を行なった多重対数関数とそれに付随する多重ベルヌーイ数の詳細を明らかにし，査読論文の掲載を目指す．また本研究課題により積分範囲が1次元的な場合の研究が進み，多くの知見が得られている．そのため，予定していた積分範囲が１次元的でない場合の多重ゼータ値に関しての研究にも着手することとする．各種研究集会については通常の対面開催が多くなると思われるが，オンラインによる参加も併用していくことにより，効率的に情報収集や意見交換を行なっていく予定である．
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