研究課題/領域番号 |
20K03525
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研究種目 |
基盤研究(C)
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配分区分 | 基金 |
応募区分 | 一般 |
審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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研究機関 | 関西学院大学 |
研究代表者 |
宮西 正宜 関西学院大学, 特定プロジェクト研究センター, 客員研究員 (80025311)
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研究分担者 |
増田 佳代 関西学院大学, 理学部, 教授 (40280416)
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研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2020年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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キーワード | アフィン平面 / 不分岐自己準同型写像 / ジャコビアン予想 / 有限自己同型群 / プラトニック代数曲面 / A^1*-ファイブレーション / アフィン空間 / 一般ジャコビアン予想 / Platonicファイバー空間 / 共変不分岐自己準同型射 / ファイブレーション / ユニポテント群 / 商射 / 商多様体 / 代数多様体 / 特異点 |
研究開始時の研究の概要 |
「アフィン平面の不分岐自己準同型写像は同型写像である」というのがジャコビアン予想である.この予想は2変数多項式に関する問題に言い換えられて,数学に興味を抱くほとんどの人達が考え始めることができる.しかし,現代数学の本質に深く関わる,非常に難解な問題である.部分的な場合にしか肯定的な結果が得られていない. しかし,この問題を一般ジャコビアン予想にすると,代数多様体の構造に深く関わる問題となり,構造が分かれば,予想が成立するかどうかが判定できる(場合がある).
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研究実績の概要 |
複素数体上のアフィン平面A^2=Spec C[x,y]の不分岐自己準同型写像は同型写像であるというのが,2次元のジャコビアン予想である.既に,7,80年間,多数の数学者の努力にも拘わらず,未解決の問題である.アフィン平面亜^2の自己同型群Aut(A^2)の有限部分群Gで鏡映部分群を含まないものは分類されていて,よく知られている.そこで,A^2の自己準同型写像fで有限部分群Gの作用と可換なものを考える.X=A^2/GをA^2のGによる商とすると, Xの構造はA^1*-ファイブレーションを持つ正規プラトニック曲面として既知であり,自己準同型写像fはXの不分岐自己準同型写像Fを引き起こす.このとき,fが同型写像であることと,FがXの同型写像であることは同値になる.今回,Gの位数が偶数ならば,Fは同型写像になることを証明した.Gの位数が奇数の場合は未解決である.証明は,Xが持つA~1*-ファイブレーションが自己準同型写像Fで保存されるかどうかに帰着される.ジャコビアン予想の解決としては部分的で,制限的であるが,肯定的結果を得る道筋を明示できたことは小さくない貢献である. さらに,ジャコビアン予想をテーマとした教科書「Affine Algebraic Geometry, Geometry of polynomial rings」を完成した.
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現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
コロナ禍の家籠りの間,アフィン代数幾何学というタイトルの本を書き上げた.World Scientific社から,近々,上梓される.その中で,ジャコビアン予想をアフィン平面の不分岐自己準同型砂像から,一般の代数多様体の不分岐自己準同型写像に拡張した,「一般ジャコビアン予想」の現況についてまとめた.予想は大半の場合に成立するが,反例も存在する.反例がもつ代数多様体の性質や構造を解析して,何故,アフィン平面(もっと一般にアフィン空間)の場合が難しいのかを理解することを目的とした. 最近は,ジャコビアン予想の成立・不成立を一直線に示すだけでなく,「一般ジャコビアン予想」を手掛かりとして,代数多様体の構造を知るプローブとしての役割を期待している.
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今後の研究の推進方策 |
上記の進捗状況を踏まえて,次のような代数多様体について,「一般ジャコビアン予想」を考えることを目的とする. (1)Danielewski曲面 x^ny=f(z), nは正整数,f(z)は1変数多項式で,f8z)=0が重婚をもたない.この局面はZariski消去問題の反例を与える. (2)Danielewski曲面を3次元に拡張するKoras-Russell 3-fold. (3)semi-simpleまたはreductiveな代数群G.
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