| 研究課題/領域番号 |
20K03525
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 関西学院大学 |
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研究代表者 |
宮西 正宜 関西学院大学, 特定プロジェクト研究センター, 客員研究員 (80025311)
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| 研究分担者 |
増田 佳代 関西学院大学, 理学部, 教授 (40280416)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2020年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 多項式環 / 正規部分環 / 加法群 / 幾何学的商多様体 / ジャコビアン予想 / 自己同型群 / アフィン平面 / 不分岐自己準同型写像 / 有限自己同型群 / プラトニック代数曲面 / A^1*－ファイブレーション / アフィン空間 / 一般ジャコビアン予想 / Platonicファイバー空間 / 共変不分岐自己準同型射 / ファイブレーション / ユニポテント群 / 商射 / 商多様体 / 代数多様体 / 特異点 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
「アフィン平面の不分岐自己準同型写像は同型写像である」というのがジャコビアン予想である．この予想は2変数多項式に関する問題に言い換えられて，数学に興味を抱くほとんどの人達が考え始めることができる．しかし，現代数学の本質に深く関わる，非常に難解な問題である．部分的な場合にしか肯定的な結果が得られていない．
しかし，この問題を一般ジャコビアン予想にすると，代数多様体の構造に深く関わる問題となり，構造が分かれば，予想が成立するかどうかが判定できる（場合がある）．
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| 研究実績の概要 |
多項式環とアフィン空間の関連において、3変数多項式環部分環で3変数の１つｘを含む、正則または正規な部分環の分類を行った。特に、正則な場合は部分環は多項式環になることを示した。また、2変数多項式環の不分岐自己準同型写像が偶数位数の有限自己同型群と同変な場合には、写像は自己同型写像になるということを示した。すなわち、同変ジャコビアン予想が成立する。さらに加法群が正規なアフィン整域に作用しているとき、幾何学的商多様体が存在するための必要十分条件を与えた。以上の3つの結果は印刷体または0nlineで刊行されている。アフィン代数幾何学に関する書籍をWorld Scientific社から刊行した。執筆には1年を要したが、課題研究に関する既知の結果で改善を要する点や不足する点を見出すのに役立った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
Affine algebraic geometry: geometry of polynomial ringsという440頁に及ぶ書籍を執筆することによって、これまで見過ごされてきた点、いまだ十分な考察がされていない部分、更には、新しい視点に対するヒントが得られたと思っている。2024年3月に刊行した2論文はそのような背景を持っている。2023年にはジャコビアン予想に関する肯定的部分結果
Equivariant Jacobian conjecture in dimension two, Transformation Groups 28 (2023), no. 2, 951-971を刊行した。これはアフィン平面の不分岐自己準同型写像がアフィン平面の偶数位数の有限自己同型群と交換可能ならば、自己同型写像になることを証明したものである。この方向は更なる肯定的結果につながると期待している。
課題研究において、複素数体上の結果を視野に入れているが、どうしても正標数の代数幾何学が必要になっている。小島秀雄（新潟大）及び伊藤浩行（東京理科大）と協力して、新しいアプローチを求めるつもりである。
分担者の増田佳代は、加法群の作用に関して順調に成果を上げている。
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| 今後の研究の推進方策 |
上記の現在までの進捗状況欄に記述したが、正標数のアフィン代数幾何学または正標数の対数的代数幾何学の知識が必要になっている。たとえば、位数２の自己同型写像を持つ場合は、標数０または標数が２でないならば二重被覆の理論が使えるが、正標数2の場合はArtin-Schreier被覆を考えなければならない。そのような被覆の幾何学はまだ未発達の状況である。低次数のdel Pezzo曲面はGeiser involutionやBertini involutionを持つが、標数2の場合に考えることは、I. Dolgachev達が既に手を付けている。del Pezzo曲面の代わりに(V,D)というdel Pezzo pairやweak del Pezzo pairの場合に、現在、手を出している。
多分、対数的代数幾何学は分野の主流となるように感じられる。
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