| 研究課題/領域番号 |
20K03529
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 (2024)
千葉大学 (2020-2023) |
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研究代表者 |
津嶋 貴弘 慶應義塾大学, 医学部(日吉), 教授 (70583912)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)
2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2020年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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| キーワード | 局所ラングランズ対応 / Lubin--Tate理論 / 還元 / 有限体上の代数多様体 / 数論幾何学 / エタールコホモロジー / 高次元類体論 / 代数曲線 / ユニタリー群 / 直交群 / 有限体 / 超特異代数曲線 / 一般化された鈴木曲線 / 合同ゼータ関数 / ガロワ表現 / 分岐 / Lubin--Tate空間 / Lubin-Tate空間 / 局所Langlands対応 / Galois representation / Langlands対応 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究課題は、代数学の一分野である数論の中の数論幾何学という分野に属する。代数学は足し算、掛け算など何らかの演算ができる数の世界を研究する分野である。その中でも特に整数や素数の性質について研究する分野が整数論、或は数論と呼ばれる分野である。一方で、代数的な方程式で定義される図形の性質を研究する代数幾何学という分野がある。この二分野は一見すると関連性の薄いものに見える。Grothendieckという数学者が現れ、この二つを共通の土台に載せる様な幾何学的な言語を構築し数論幾何学という一分野を構築した。この分野の主対象である代数多様体・ガロワ表現・保型表現などを理解することが本研究の課題である。
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| 研究成果の概要 |
整数論は日本において高木貞治氏の類体論の構築への貢献に始まる長い歴史を持つ．類体論とは，代数体と呼ばれる数論的に興味深い体のアーベル拡大がどれくらいあるかを記述する理論である．類体論を何らかの形で一般化しようという挑戦の中で整数論は発展してきた．それにより20世紀にはフェルマー予想が解決されたり，21世紀には佐藤・テイト予想が解決されるなどの輝かしい結果を得た．その背景には，ラングランズ対応と呼ばれる類体論の高次元化の定式化がある．類体論の精密化を明示的相互法則と呼ぶが，ラングランズ対応に対する明示的相互法則を目指し，様々な周辺の事柄について数論幾何的な手法を用いて研究を行ってきた．
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
上で述べたラングランズ対応には局所版と大域版があり，局所版のラングランズ対応を局所ラングランズ対応と呼ぶ．かなり一般の代数群に対して局所ラングランズ対応を考えることができるのだが，本研究では最も基本的な一般線形群の場合に，局所ラングランズ対応の相互法則の精密化としての明示的相互法則を目指して研究を行った．これは整数論の類体論と呼ばれる重要な理論の一つの一般化・精密化ということができる．このような研究を進展させることは整数論の研究において重要な意義をもつ．
整数論の知識はいますぐ現実社会に活用できるものばかりではないが，蓄積された知識は将来，人類に大きな利益を与える可能性を持つと考えている．
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