| 研究課題/領域番号 |
20K03531
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 横浜国立大学 |
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研究代表者 |
野間 淳 横浜国立大学, 大学院環境情報研究院, 教授 (90262401)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)
2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2020年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
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| キーワード | 射影多様体 / 線形射影 / 射影埋め込み / 定義方程式 / 斉次イデアル / 二重点因子 / 代数学 / 代数幾何学 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究の目的は，点を中心とする射影多様体の線形射影の構造について調べることである．具体的な例を集めることにより，その構造について，何が一般であり，何が特殊であるかを不変量などを用いて特徴づけることである．特に，点が射影多様体の上にある場合について詳しく調べる．
射影の構造として，外セグレローカス,内セグレローカスの配置や成分の個数，そして線形射影に付随する二重点因子に注目する．他方で，これら以外の新たな構造や性質を発見することを目指す．未解決問題である射影多様体の割線の長さ問題や射影多様体の定義式の問題，さらに背後にあるregularity予想問題へのアプローチを行い解決を目指す．
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は，射影多様体の点線形射影の構造について，一般の線形射影と特殊なものを，不変量などを用いて特徴づけることである．点線形射影が射影多様体とその像の双有理写像を，通常と違い引き起こさないとき，射影の中心点を非双有理中心点と呼び，非双有理中心点の全体であるセグレローカスに注目した．2022年度に引き続き，これまで得られている結果を点検し，定義体の標数pと射影多様体の次数dの間に,p>dの関係がある場合に拡張できるかに重点を置いて研究を行った．セグレローカスを持つ射影多様体の構造の特徴づけとその分類の部分について，一部修正することで，標数0の場合に得られた同様の結果を得ることができた．非特異射影多様体のCastelnuovo-Mumford regularityの上限への応用についても，小平消滅定理が成立する場合には，標数0の場合と同様の結果が成立することを証明することができた．
これまで得られている，射影多様体のセグレローカスの既約成分の個数の上限についての結果と，特異点を持つ場合の射影多様体も含めた線形射影の二重点因子の作る線形系の性質についての結果を，論文として発表した．同様の結果について，情報交換と新たな問題の発見のため，日本数学会で成果を発表した．さらに今年度得られている結果について研究集会を開催して，発表するとともに情報交換を行って広い視点から研究を検討した．
引き続き同様の課題を検討するとともに，さらに検討が必要な線形射影の二重点因子についての正標数の場合の研究と，正標数で標数0の場合と違いが生じる部分に注目する研究は，2024年度の継続研究課題となった．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究目的の達成のため，いくつかの小課題で成果が得られ，現時点でまとめ作業を続けているものがあるが，一部については研究成果として発表できたため．また，予定していた研究打合せと研究交流活動を行うことができたため．実例の計算機代数を用いた計算についてはやや遅れているが，2024年度に引き続き行っていく．
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| 今後の研究の推進方策 |
2024年度の課題となった，線形射影の二重点因子の研究について，これまでの研究を定義体の標数pが射影多様体の次数dに比べて大きな場合に拡張し，それらを成果としてまとめることに重点をおいて進める．並行して，これらを基づくセグレローカスと二重点因子の計算を計算機代数を用いて進める．これまで得られているセグレローカスを持つ射影多様体の例にこれらを適用していく．さらに，考察による実例の構成や文献調査を進める．これらにより得られる結果を，研究集会での情報交換や研究打ち合わせを行って，多角的な視点で研究を進める．研究打ち合わせ等は，直接行うことを予定する．また，研究集会を開催して，より広い視点から研究動向などの情報を集めることにより，研究課題に取り組む．
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