| 研究課題/領域番号 |
20K03537
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 東京都立大学 |
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研究代表者 |
横山 俊一 東京都立大学, 理学研究科, 准教授 (90741413)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2024年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2021年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2020年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 計算機数論 / 保型形式 / 耐量子計算機暗号 / Julia 言語 / 代数的保型形式 / 高速実装 / Julia言語 / データベース |
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| 研究開始時の研究の概要 |
Julia 言語を用いた新しい数式処理システム Nemo の開発を通して，以下の課題を解決することを目指す．
1) AbstractAlgebra.jl の開発を通して，拡大体（とくに局所体）の高速計算アルゴリズムを提案し，高次拡大体の計算や高速同型判定を可能にする．
2) Hecke.jl の開発を通して，数論幾何的対象（楕円曲線やモジュラー形式）の計算パッケージを実装し，代数体上の楕円曲線の効率的探索を実現する．
また，以上の実装を用いて大規模探索を行い，数論データベース LMFDB の拡張プロジェクトへの貢献を目指す．
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| 研究実績の概要 |
(1) 昨年度に引き続き、計算機数論、とくに代数的保型形式に関する研究を行った。これまで取り組んできた、四元数環上の代数的保型形式の周期に関する研究の延長線上にある話題として、組み合わせ論的な手法を用いて保型形式に関するベクトル空間の生成系を高速に計算する手法を開発し、アルゴリズム構築・実装までを行った。さらにその改良として、生成多項式系に関するアイデアを用いて計算手法を簡素化した（落合啓之氏、若槻聡氏との共同研究）。
(2) 耐量子計算機暗号における署名技術の一般化に対する高速化・効率化を行った。NIST PQC コンペティションにおいて最終ラウンドを通過した署名技術とし て CRYSTALS-Dilithium があるが、その一般化のひとつである Masking-Dilithium にはスクリプト実装がなかったため、これをC言語環境で実装した。さらにマスキング技術における masking-unmasking フェーズの有無において数学的に同一の情報を保持できることを数学的に証明した（植元雅斗氏、山村和輝氏、宮澤俊之氏との共同研究)。なお本研究は NTT 社会情報研究所との共同研究として実施されたが、計算機実装に関する情報収集等の業務の一部を本研究課題として実施したため、本報告書に記載する次第である。
(3) Julia 言語を用いた数式処理システム開発の一環として、数学および物理学の最先端における Julia の活用に関するカンファレンスを行った（主催は九州大学マス・フォア・インダストリ研究所）。またその成果を IMI レクチャーノートとして出版した（富谷昭夫氏、永井佑紀氏、寺崎敏志氏との共同編集）。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本年度も、Julia 言語をはじめとして複数の計算機代数システムを用いて、多角的な研究を遂行できている。とくに本年は、本研究課題にも明示した Julia 言語に関する最先端の研究知見を共有する場を設け、最新の開発状況に関する情報を収集すると共に、計算機代数系における Julia の活用方法に関して幅広い専門分野の研究者と研究討議を行うことができた。最終年度に向けての仕上げとして、ユーザ拡大のために気をつけるべきノウハウを還元していく予定である。
また、現在進めている研究で用いている計算機代数システムの Julia 言語への移植についても開始の目処がたち、引き続き最もパフォーマンスを引き出すことのできる開発プランを模索している。
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| 今後の研究の推進方策 |
代数的保型形式に関する共同研究事業については、引き続き関連する数論的対象物を Julia 言語をはじめとする高速実装環境に実現する作業に取り組む（とくにデータベース化における作業の簡素化と、実行時間の物理的高速化を検討している）。一方、暗号理論への応用事例としても、前年度から開始した耐量子計算機暗号の署名技術の高速・効率化と性能評価について継続的に研究を進めていく予定である。具体的には、マスキング格子を援用した署名技術 Masking-Dilithium における高速ビット演算およびその数学的正当性について、Julia 言語との相性や高速化アルゴリズムの適用検討を進めてい く予定である。
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