| 研究課題/領域番号 |
20K03558
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 岡山大学 |
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研究代表者 |
石川 雅雄 岡山大学, 自然科学学域, 教授 (40243373)
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| 研究分担者 |
岡田 聡一 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (20224016)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
3,640千円 (直接経費: 2,800千円、間接経費: 840千円)
2022年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2020年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
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| キーワード | Pfaffians / orthogonal polynomials / Macdonald polynomials / Selberg integral / determinants / distributive lattice / Markov chain / Jack polynomials / 交代符号行列 / 平面分割 / Pfaffain / determinant / Hankel determinants / symmetric functions / combinatorics / 代数的組合せ論 / 直交多項式 / パフィアン / 行列式 / 半順序集合 / Fully packed loops / Selberg Integral / 有限分配束 / ルート系 / Fully Packed Loops |
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| 研究開始時の研究の概要 |
交代符号行列全体の集合やアステカ正方形 (Aztec diamond) のドミノタイリング全体の集合平面分割全体の集合など、これまで数え上げの対象であった多くのものは自然な半順序集合としての構造が入り、かつその半順序によって有限分配束となるものが多い。交代符号行列に限らず、これまで表現論や数え上げ組合せ論に現れた対象の中にも数多く見受けられる。
有限分配束の基本定理によって、半順序集合の順序イデアル全体の集合と同型であるが、ここではその半順序集合の具体的な構造を明らかにし、その応用としてどのようなことができるかを明らかにする。
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| 研究実績の概要 |
令和２年度は、COVID-19 の為に国内・海外への出張ができなかった。参加を予定していた FPSAC 2020 も最初はイスラエルの Bar-Ilan University で開催予定であったが完全オンラインであった。また、数理研などで毎年ある表現論・組合せ論関係の研究集会もオンラインだったので旅費を使うことができなかった。代わりにノートパソコンの Let's Note を購入した。FPSAC 2021 は Bar-Ilan University で再び開かれたが参加できなかった。令和２年度に国内出張が可能になり３月に中央大学理工学部で開催された Encounter with Mathematics に参加し Cluster 代数についての講演を聴くことができた。令和３年度と令和４年度には津田塾大学の貞廣氏と共に何度か研究打合せを行った。特に、Diaconis-Ram による Macdonald 多項式と関係したマルコフ過程についての論文の B, C, D 型への拡張を考えている。このマルコフ過程は Jack 多項式に特殊化すると確率論の Ewens's sampling formula という有名な分布になり広く応用されているらしい。また、以前に Hanlon が対称群上のマルコフ連鎖を構成し Jack 多項式との関係を明らかにしたが、これを Macdonald 多項式に拡張したものになっている。また、和歌山大の田川氏と Cylindric partition の鉤公式とシューア多項式の関係について共同研究を行った。令和４年度に再びノートパソコンと数式処理ソフト Maple 2022 を購入し、研究体制を整えた。博士課程の学生の大本君が何度か若手の研究会に出張し alternating sign matrices の lattice について発表した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
令和２年度、令和３年度は、パンデミックのために研究集会がほとんど開かれず出張ができず研究が進まなかった。令和４年度のフランスリヨン大学の共同研究者である Jiang Zeng 氏を訪問し、書きかけであった共著論文 Minor summation formula of hyperpfaffians and Selberg integrals を完成させた。さらにウィーンの Eisenkolbl とも、ある Pfaffian を評価するための計算を行った。これは連分数を使って Associated Jacobi polynomials という直交多項式に関連付ける方法で Ismail-Masson の多項式を使って Selberg 型の積分の計算に Pfaffian の評価を帰着させる。この Ismail-Masson 型の積分をかなり簡単化できたが、まだ計算できていない。パンデミック中は対面の研究集会が開かれず研究に支障をきたした。オンラインの研究集会や集中講義などを見つけて参加したが、オンラインでは細かなニュアンスが伝わらず対面には代えがたい。また、海外渡航も令和４年度まで出来なかった。この分野では、海外研究者との情報交換は重要である。代わりにノートパソコンや数式処理ソフトを購入した。また、東北大の中野氏や津田塾大の貞廣氏と RS-予想の証明を有限分配束的視点で見直し確率論的証明についての研究打合せを行った。和歌山大の田川氏とは cylindric hook formula と Schur 関数の関係についての共同研究を行った。その母関数を Schur 関数を成分にする行列式で表す方法は、わかったが、その評価の方法はわかっていない。
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| 今後の研究の推進方策 |
Jiang Zeng 氏との論文では、いくつかの Pfaffian に関する予想を Selberg 型の積分に帰着して評価することができた。この論文をさらに魅力的にするためには応用を考える必要がある。特に平面分割の母関数の計算に応用できれば面白いものになる。平面分割については、まだいくつかの未解決問題があり、古典群の指標を使って母関数が表されることについての予想を作った。問題の平面分割の族の母関数は Pfaffian や行列式によって表せることは組合せ論的議論によって証明できる。これらの Pfaffian や行列式の評価して、古典群の指標と一致することを証明する部分が予想であり、今後研究していきたい。また、Jiang Zeng 氏との共同研究については、平面分割への応用を考えている。特に shifted plane partitions の族の中には、その数え上げ母関数が Pfaffian で表されるものが多い。適当な重みを考えることにより Selberg 型の積分で表されるような Pfaffian を出すことを目標にしている。他にも交代符号行列全体を順序集合として distributive lattice と考えると有限分配束の基本定理により A 型の root poset を貼り合わせてできる poset P の order ideal 全体 J(P) として実現できる。これを、点対称な交代符号行列全体の成す順序集合全体について考察すると B 型の root poset を貼り合わせてできる poset の order ideal 全体と同一視できることがわかる。これは偶数次でも奇数次でも両方いえる。これらの性質を詳しく調べたい。さらに defect を持つ FPL の母関数を求めることも研究課題である。
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