| 研究課題/領域番号 |
20K03561
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 東京都立大学 |
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研究代表者 |
徳永 浩雄 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (30211395)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2020年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | 楕円曲面 / 超楕円曲線 / Mumford表現 / quasi toric relation / Zariski pair / 曲線配置 / 低次曲線配置 / ザリスキ・ペア / quasi-toric relations / Groebner基底 / 因子類 / contact curve / quasi-toric relation / マンフォード表現 / ザリスキ対 / 分解数 / モーデル-ヴェイユ格子 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本課題は，(i) 楕円曲面S上の因子のマンフォード表現を利用した平面曲線Cの構成を積極的に行い，(ii) その背後にある数論的性質や新たな不変量を用いて，Cの埋め込み位相を研究し，その新展開を図ることを目的としている．これまでSの幾何学的性質はSの切断のなす群の群構造およびその数論的性質を考察するために利用されることが多かった．本研究ではこれまでの視点とは逆で，数論的考察から幾何学およびトポロジーへ応用を目指している．また，マンフォード表現を導入することで種数の高いfibered曲面への 拡張することも期待される．さらに新たな展開として公開鍵暗号などへの応用といった展開も視野に入れる．
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| 研究実績の概要 |
2023年度も引き続き超楕円曲線，楕円曲線の因子の表現とその幾何学への応用について以下に述べるような研究を行った.
(1)2023年度には，論文 Ramified and Split models of elliptic surfaces and bitangent lines of quartic curvesを出版した．本論文は，S. Bannai, E. Yorisakiとの共著である．また，Algebra i Analizから2022年に出版されていた論文 Torsion divisors of plane curves and Zariski pairs Algebra i Analizの英語版であるS.Petersburg Math. J.から出版された．
(2) 研究実績について，研究論文については，以下のような状況である： (i) 2022年度から始まったイスラエルのMeirav Amram, Uriel Sinichkin及S．Bannai, T. Shiraneらとのconic-line配置の研究については，論文を完成させ現在投稿中である．(ii) S. Bannai, R. Masuya, T. Shirane, Y. Yorisaki等と共著でPonceletの閉定理に由来するconic-line配置のZariski pairに関する論文を完成させ現在投稿中である．(iii) S. Bannai, T.Shiraneとともに射影平面の2次被覆に関して数論の視点からの研究についてサーベイ論文を完成させ，現在投稿中である．なお，本論文は，超楕円曲線の因子の記述法について，2022年に発表した論文以降の進展についてまとめたものをAppendixとして含んでいる．
(3) 研究実績のうち， 研究成果の発表については以下の通りである：(i) 海外では，2023年6月にはハカ（スペイン）, 8月にはウランバートル（モンゴル），9月には，クイニョン（ベトナム）で行われた研究集会及びセミナーにて口頭発表を行った．(ii) 国内では12月に新潟と湯布院で開催された研究集会で口頭発表を行った．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
2023年度は, 新型コロナ感染症の影響はほぼ無くなり，研究集会やセミナーを対面で行うことが可能となった．代表者が世話人の一人である代数曲面ワークショップも制限を無くし，対面で3回（東京都立大学，東京電機大学，徳島大学）開催した．また，2023年度は海外での研究活動も活発に行い，本研究課題に関連して得られら成果の報告を行った．まず，6月にはハカ（スペイン）で開催された国際集会 115AM Algebraic and topological interplay of algebraic varietiesにオーガナイザーとして参加し，さらに講演も行った．続いて，8月にはウランバートル（モンゴル）で開催されたワークショップWorkshop on Algebraic Geometry and Topology 2023で講演し，9月にはクイニョン（ベトナム）で開催された日越二国間の研究集会Workshop Topology of Singularities and Related Topicsにおいても講演を行った．さらに，国内では，２軒の口頭発表を行った．2022年は成果発表に比べると，2023年度は研究代表者自身が全ての口頭発表を行なっている点が前年までとは異なる点である．研究成果の発表については，口頭発表の他に，３つのpreprintを共同執筆し，現在全て投稿中である．
これらの状況を考慮すると,「概ね順調」判断となった.
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| 今後の研究の推進方策 |
1. 2023年度までと同じく，今年度も共同研究者と共に現在執筆中の論文(2023年度に得られた成果も含める)の執筆を進め，受理を目指す. 2. 2023年度に
構成したconic-line 配置の例では楕円曲面上の因子の具体的な構成法が鍵であった．その手法は，因子のMumford表現にDedekind整域のイデアルの視点を取り込み，さらにGroebner基底を利用した解釈を用いた点が特色であった．同様の手法は combinatoricsを固定した他のconic-line 配置のパラメータ空間の連結性の研究でも有効であることがわかってきた. そこで，これまでに扱った7次のconic-line 配置含んだクラスに対してその手法を適用し，conic-line配置の埋め込み位相の研究を進める. 3. Dedekind整域のイデアル論とGroebner基底を取り込んだ曲線の因子類群の行う.4. 2023年までに行ったその他の研究についても引き続き進める.
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