アイソトロピック・グラスマン多様体のシューベルトカルキュラス

研究課題

研究課題/領域番号	20K03571
研究種目	基盤研究(C)
配分区分	基金
応募区分	一般
審査区分	小区分11010:代数学関連
研究機関	国際基督教大学
研究代表者	松村朝雄国際基督教大学, 教養学部, 准教授 (80755223)
研究分担者	池田岳早稲田大学, 理工学術院, 教授 (40309539)
研究期間 (年度)	2020-04-01 – 2025-03-31
研究課題ステータス	交付 (2023年度)
配分額 *注記	4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円) 2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円) 2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円) 2021年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円) 2020年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
キーワード	key多項式 / Lascoux多項式 / 旗付きシュアー多項式 / 旗付きグロタンディック多項式 / permutahedron / 対称群 / hyperoctohedral群 / Schubert polynomial / vexillary / shifted marked tableau / flagged Schur Q function / Key多項式 / Pieri-Chevalley則 / shifted marked tableaux / flagged Q functions / Monk's formula / シューベルトカルキュラス
研究開始時の研究の概要	「三次元の空間に４本の直線が与えられた時に、それらと交わる直線は何本あるか？」シューベルトカルキュラスはこのような古典的な数え上げの幾何学に端を発している。現代数学においてはグラスマン多様体のコホモロジー環・K理論におけるシューベルト基底に関する構造係数を決定することとして解釈される。本研究では、より複雑な交叉条件を考えたアイソトロピック・グラスマン多様体のシューベルト係数の決定を最終目標とする。
研究実績の概要	key多項式のkeyタブロー公式の別証明に関する論文がほぼ仕上がった。仕上げる過程で、key多項式のK理論的拡張であるLascoux多項式が、旗付きグロタンディック多項式になるための必要十分条件で、Reiner-ShimozonoやYu-Shimozonoで得られていなかった別のものが、見つかったので、それも別の論文にまとめている。旗付きグロタンディックのChevalley法則については、引き続き、執筆を進めている。また、関連してPermutahedronに付随したトーリック多様体の（同変）コホモロジーはワイル群の表現になっているが、それの既約表現分解を具体的に得た.対称群とhyperoctphedral群の場合に、論文にまとめている。
現在までの達成度 (区分)	現在までの達成度 (区分) 3: やや遅れている理由 P関数のシューベルト係数の組み合わせ論的表示をクリスタル構造を使って求めるアイデアを元に、A型のグロタンディック多項式のシューベルト係数をYuのK-crystal構造を使って求めている一方で、上記の研究実績にあるように、タイプAの（あるいはタイプB/Cの）permutahedronに付随したトーリック多様体のコホモロジーのS_n（あるいはO_n）表現の、既約分解をSchur-Weyl双対性の視点から見直すアイデアを得て、そこに時間を費やした。シューベルト係数の組み合わせ論的表示をクリスタル構造を使って求めるアイデアは、少なくともタイプAでは、背景にSchur-Weyl双対性があることも知られているため、本課題に有意義な研究結果を得られていると考えている。
今後の研究の推進方策	最終年度なので、今ある研究結果を着実に論文にして発表することに時間を使う。一方で、シューベルト係数を計算する文脈で、type B/Cのクリスタル構造を具体的に計算する課題を、できる限り推し進めたい。