| 研究課題/領域番号 |
20K03576
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 茨城大学 |
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研究代表者 |
入江 博 茨城大学, 理工学研究科(理学野), 准教授 (30385489)
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| 研究分担者 |
柴田 将敬 名城大学, 理工学部, 准教授 (90359688)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,770千円 (直接経費: 2,900千円、間接経費: 870千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2020年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 幾何学 / 凸体 / 極凸体 / Mahler体積 / 直交群の離散部分群 / Mahler予想 / シンプレクティック容量 / シンプレクティック構造 / ハミルトン力学系 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
凸幾何の分野での古典的未解決問題の一つに、ユークリッド空間の中心対称な凸体のMahler体積の下からの最適評価に関するMahler予想（1939年）がある。凸体のMahler体積とは、中心対称な凸体の体積とその極凸体の体積の積のことである。
本研究では、凸幾何の観点からMahler予想を経由して、シンプレクティック幾何の分野でのハミルトン力学系から定義されるある不変量に関する予想であるViterbo予想の研究を行う。
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| 研究実績の概要 |
１．ユークリッド空間の内点をもつコンパクト凸集合を凸体という。ユークリッド空間の中心対称な凸体とその極凸体の体積の積（Mahler体積）の下からの評価に関するMahler予想と呼ばれる古典的な未解決問題に取り組み、3次元の場合を2020年に解決したが、この予想の証明のために導入した凸体のMahler体積（volume product）の符号付体積評価とequipartitionの方法を用いて、予想の非対称な場合を考察した。3次元非対称な凸体で位数4の離散群の対称性をもつ場合(2種類ある)に、Mahler体積の下からの最良評価を得た。また、不等式の等号成立条件についても解決の目途がつき、議論の詳細を点検中である。
２．令和３年度に、あるクラスの高次元凸体のMahler体積の下からの最良評価に関してプレプリントを完成させていた。具体的には、凸体が(i)n次元立方体の向きを保つ等長変換のなす直交群の離散部分群の対称性をもつ場合、(ii)n単体の向きを保つ等長変換のなす直交群の離散部分群の対称性をもつ場合である。さらに、等号成立条件の結果も追加して、この論文がInternational Mathematical Research Notice誌から出版された。向きを逆にする対称性も含めて仮定しているF.BartheとM.Fradeliziによる先行研究（2013年）の拡張になっている。
以上の内容は、研究分担者である柴田将敬氏（名城大学）との共同研究である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
令和５年度は、新型コロナウイルス感染症の影響もほぼなくなり、国内出張はしやすくなった。このため、研究分担者の柴田将敬氏（名城大学）とお互いの研究機関を訪問しての直接の議論は、ほぼ予定通り実施することができた。また、海外出張は、当該年度は１回のみであるが、韓国への研究集会に参加して研究情報収集を行うことができた。しかし、当初計画していた最新の研究情報収集のための欧米への海外出張ができず、課題の進捗がやや遅れている。
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| 今後の研究の推進方策 |
令和６年度も引き続き、研究分担者の柴田氏と月2回のペースでお互いの研究機関を訪問しての対面での議論またはZoomを併用した議論を行う。まず、研究実績の概要の項目１に示した3次元非対称の場合の論文を完成させ、プレプリントの公表を急ぐ。また、新型コロナ関連の規制もほぼ無くなったため、最新の研究情報収集のための欧米への海外出張を行う。
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